5.3.1任意角的正弦函数-余弦函数和正切函数的概念

第五章三角函数5.3.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念情境再现情境１：回忆什么叫函数？在某一变化过程中有两个变量𝑥和𝑦，设变量𝑥的取值范围为数集Ｄ，如果对于Ｄ内的每一个𝑥值，按照某个对应法则𝑓，𝑦都有唯一确定的值与它对应，那么，把𝑥叫做自变量，把𝑦叫做𝑥的函数，记作𝑦=𝑓(𝑥)，数集Ｄ叫做函数的定义域。||||sinOPPM＝斜边对边|||cosOPOM｜＝斜边邻边|||tanOMPM｜＝邻边对边能把锐角三角函数的定义推广到任意角吗？1.锐角正弦、余弦和正切函数的定义构建问题探寻解决情境２：初中，在直角三角形中，是如何定义锐角的锐角正弦、余弦和正切函数的？2.看图、填空：３４５sin𝛼＝______,cos𝛼＝______,tan𝛼＝______,354534设∠𝑀𝑂𝑃=𝛼(𝛼是锐角),角𝛼的邻边𝑂𝑀＝𝑥,对边𝑃𝑀=𝑦,斜边长𝑂𝑃=𝑟=0。根据锐角三角函数定义用𝑥,𝑦,𝑟表示锐角𝛼的正弦、余弦、正切三个比值：把锐角放置于直角坐标系（角的顶点与原点重合，角的始边与𝑥轴正半轴重合）。在𝛼的终边上任取一点Ｐ，过点Ｐ作Ｐ𝑀⊥𝑥轴于点𝑀，构造𝑅𝑡∆𝑂𝑀𝑃。xyOMPMrxOPOMryOPPM|||tan|||cos||||sin｜＝邻边对边；｜＝斜边邻边；斜边对边尝试用终边上的点的坐标表示正弦、余弦和正切函数的值。第一象限第二象限第四象限第三象限推广到其它象限，观察下图：情境４：将锐角的比值情形，推广到其它象限的任意角设𝛼是一个任意角，在𝛼终边上除原点外任意取一点Ｐ𝑥,𝑦，点𝑃与原点𝑂之间的距离记作𝑟𝑟=𝑥2+𝑦20，那么角的正弦、余弦和正切分别定义为：如何确定任意角三角函数的定义域正弦：sin𝛼=𝑦𝑟余弦：cos𝛼=𝑥𝑟正切：tan𝛼=𝑦𝑥任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念：比较归纳形成新知１.当角𝛼的大小发生变化时，这些比值发生变化吗？２.当角𝛼的大小一定，角𝛼的终边上的点的位置变化时，这些比值发生变化吗？𝑦𝑥𝑜𝑦𝑥𝑜动脑思考探索新知１.在比值存在的情况下，对角𝛼的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角𝛼的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角𝛼为自变量的函数，分别叫做𝛼正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。２.当角𝛼采用弧度制时，角𝛼的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数𝛼为自变量的函数。正弦函数：sin𝛼=𝑦𝑟；余弦函数：cos𝛼=𝑥𝑟；正切函数：tan𝛼=𝑦𝑥。关于定义两点说明：动脑思考探索新知三角函数定义域由任意角三角函数的定义可以看出，当角𝜶的终边在𝒚轴上时，𝜶=𝝅𝟐+𝒌𝝅,𝒌∈𝒁，终边上任意一点的横坐标𝒙的值都等于0，此时tan𝜶=𝒚𝒙无意义。因此，正弦函数、余弦函数及正切函数的定义域如下表所示：三角函数定义域sin𝛼Ｒcos𝛼Ｒtan𝛼𝛼≠𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍解：∵𝑥=2,𝑦=−3,∴𝑟=𝑥2+𝑦2=22+−32=13.∴sin𝛼=𝑦𝑟=−313=−31313,cos𝛼=𝑥𝑟=213=21313,tan𝛼=𝑦𝑥=−32=−32.巩固知识典型例题例1已知角𝛼的终边经过点Ｐ2,−3，求角𝛼的正弦、余弦、正切值。分析：已知角𝛼的终边一点的坐标，求角𝛼的三个函数值时，首先要确定角𝛼的终边上一点Ｐ𝑥,𝑦到原点𝑂的距离𝑟𝑟=𝑥2+𝑦2，然后，再利用三角函数的定义计算出相应的三个三角函数值。运用知识强化练习已知角𝛼的终边上一点𝑃的坐标如下，分别求出角𝛼的正弦、余弦、正切值：（１）𝑃3,−4（２）𝑃−1,2（３）𝑃12,−32任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念：对于每一个确定的值，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比值。因此，正弦、余弦及正切都是以为变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数及正切函数，它们都是三角函数。设𝛼是一个任意角，在𝛼终边上除原点外任意取一点Ｐ𝑥,𝑦，点𝑃与原点𝑂之间的距离记作𝑟𝑟=𝑥2+𝑦20，那么角的正弦、余弦和正切分别定义为：正弦：sin𝛼=𝑦𝑟;余弦：cos𝛼=𝑥𝑟;正切：tan𝛼=𝑦𝑥.归纳小结强化思想作业𝑃112练习5.3.1再见