5.1常微分方程

第五章常微分方程•1.可分离变量的微分方程•2.一阶线性微分方程•3.可降阶的二阶微分方程•4.二阶常系数微分方程•微分方程：一般地，我们称表示未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程为微分方程。例如：y’’+xy=2x,ydy=2xdx•常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。•偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程是偏微分方程。•微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。例如：y’=2x是一阶的,y’’+(y’)3=2xy是二阶的基本概念•一般地，n阶微分方程的形式为F(x,y,y’,y’’,…y(n))=0,（※）其中y(n)必须出现，其他均可省略。•微分方程的解如果函数y=y(x)满足方程(※),即将y=y(x)及其各阶导数代入方程(※)恒成立，则称函数y=y(x)为方程(※)的解。例如：y=x2，y=x2+3，y=x2+C都是一阶微分方程的解。•微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数。则称这样的解是微分方程的通解。例如：y=x2+C是一阶微分方程的通解。又如：y=c1cosx+c2sinx是二阶微分方程y’’+y=0的通解xdxdy2xdxdy2•微分方程的特解：确定了任意常数的解为微分方程的特解例如：y=2cosx+3sinx是二阶微分方程y’’+y=0的特解•初始条件：•一阶微分方程的初始条件为当x=x0时，y=y0或者二阶微分方程的初始条件是当x=x0时，y=y0,y’=y1时，或者写成其中x0,y0,y1都是给定的值00yyxx00yyxx10'yyxx•初值问题：求微分方程满足初始条件的特解问题成为微分方程的初值问题。例如：221xyxdxdy§5.2一阶微分方程1.可分离变量的微分方程2.齐次方程3.一阶线性微分方程dxxfygdyygxfdxdy)()()()()(xydxdy).......()(xQyxPdxdyQ(x)=0，方程为一阶线性齐次微分方程0)(yxPdxdyQ(x)≠0,为一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPdxdy1.可分离变量的微分方程的解法形如的微分方程为可分离变量的微分方程解法：先分离变量两边分别积分即可得解)()(ygxfdxdydxxfygdy)()(dxxfygdy)()(例1：求微分方程的通解yxdxdy23解：分离变量得dxxydy23两边积分dxxdyy231得13lnCxy313lnxCxyeCyee即3xeCy3xeCy例3：求初值问题的特解42xyxydxdy解：分离变量得：两边积分得方程通解为又因为x=-2时y=4,所以初值问题的解为xdxydyCxylnlnlnCxyxy807.049.微分方程的通解为19.求微分方程的通解13xdxdy0lnyydxdyx07.10Cxxy223cxey二07.1009.04X2+y2=C2.齐次方程：如果一阶微分方程中的f(x,y)可以表示为，则方程化为),(yxfdxdy)(xydxdy)(),(xyyxf我们称这种方程为齐次方程2.齐次方程的解法)(xydxdy令，则代入原方程得即为可分离变量的微分方程，求解即可xyudxduxudxdyuxy两边求导得,)(udxduxuxdxuuduuudxdux)(,)(即例8：解微分方程dxdyxydxdyxy22解：由原方程得即xyu22xxyydxdy1)(2xyxydxdy令代入原方程得则,,dxduxudxdyxuy1,12uudxduxuuudxduxu即分离变量得xdxduu)11(两边积分得CuxuxCuuln,lnln即将代入，得原方程的解为xyuCxyyln3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e称为齐次方程;xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换xxPuxPd)(e)(CxxQuxxPde)(d)(两端积分得09.04微分方程y’-y=x2+1是（）A.一阶线性微分方程B.二阶线性微分方程C.齐次微分方程D.可分离变量的微分方程A(09.04)221xyxy原方程即为：CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)()()(ddxQyxPxy的通解为说明：注意用变量代换将方程化为已知类型的方程yxyxdd例13,解方程yxxy1ddyxyxdd解：取y作自变量:是关于y的线性方程其中P(y)=-1,Q(y)=y，利用以下公式计算即可。CyyQxyyPyyPde)(ed)(d)((09.10)D20.已知曲线y=f(x)上任意点(x,y)处的切线斜率为y-x，且曲线过原点，求此曲线方程。解：由题意知y’=y-x即y’-y=-x，所以])([)1()1(CdxexeydxdxxxxxxCexCexeCdxexe1])1[())((又因为y(0)=0,所以C=-1所以所求曲线方程为y=x+1-ex08.1008.104.下列微分方程中为线性微分方程的是（）xdxdyxdxydyxydxdy1)(.Dsin.A222xexxydxydyxdxdy)1(.Bcos.C222B20.求微分方程的通解。xxxxydxdyln2ln参考答案：)(ln12Cxxy08.04CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(•20.求微分方程的通解。xeydxdy2(07.04)CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(xxCeey231参考答案：§5.3可降阶的二阶微分方程1.型的微分方程2.型的微分方程3.型的微分方程1.)(xfy1d)(Cxxfy即21d])(CxCdxxfy依次通过2次积分,可得含2个任意常数的通解.型的微分方程例1：求微分方程y’’=e3x-sinx的通解解：对方程两边连续积分两次，得1313cos31)sin(CxeCdxxeyxx213213sin91)cos31(CxCxeCdxCxeyxx),(yxfy型的微分方程设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy2.例3：求二阶微分方程y’’=y’+x的通解。解：令y’=p,则y’’=p’,代入原方程得p’=p+x即p’-p=x此方程为以x为自变量,以p为函数的一阶线性微分方程因此由公式知：1d)(d)(de)(e)(CxxQxpxxPxxP1d)1(d)1(dee)(Cxxxpyxx)1(1xeCx22121CxxeCyx两边积分得其中P(x)=-1,Q(x)=x例4.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得,ln)1(lnln12Cxp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为3.),(yyfy型的微分方程令,pyxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解这是一个以y为自变量，以p为未知函数的一阶微分方程例5：求二阶微分方程2yy’’+y’2=0的通解解：这是型的二阶微分方程),(yyfy令p=y’,则dydppdxdydydpdxdpdxydy代入原方程得022pdydpyp这是以y为自变量，以p为未知函数的可分离变量的微分方程分离变量得ydypdp2两边积分得dxdyyCpCyp即lnln21ln分离变量得Cdxdyy两边积分得：2123233232,32CxCCCxyCCxy即所以3221)(CxCyCdxdyy122yyyy·*y9.微分方程的一个特解2010.07(10.4)§5.4二阶线性微分方程解的结构)()()(xfyxqyxpy0)()(yxqyxpy1.二阶线性齐次微分方程2.二阶线性非齐次微分方程程称为二阶线性微分方程.22()()()dydyPxQxyfxdxdx时，当0)(xf称为二阶线性齐次微分方程.称为二阶线性非齐次微分方程.1．二阶线性微分方程的定义形如这样的微分方程时，当0)(xf/或者)()()(xfyxqyxpy2.两个函数的线性相关性设y1(x)与y2(x)是定义在区间I上的两个函数，如果存在常数λ使得对于一切x∈I,都有y1(x)=λy2(x)则称y1(x)与y2(x)在区间I上线性相关，否则称他们线性无关。例如：在R上，sinx与cosxsinxcosx与sin2x线性无关，线性相关定理2：设y1(x)与y2(x)是二阶线性齐次微分方程两个线性无关的解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解其中C1、C2为任意常数3.二阶线性齐次微分方程解的结构0)()(yxqyxpy定理1：设y1(x)与y2(x)都是二阶线性齐次微分方程的解，则对任意常数C1、C2都有y=C1y1(x)+C2y2(x)也是该方程的解3.二阶线性非齐次微分方程解的结构))......(()()(xfyxqyxpy定理3：设y*(x)是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，y(x)是对应的齐次微分方程的通解，则是二阶线性非齐次微分方程(﹡)的通解y=y(x)+y*(x)定理4：若二阶线性非齐次微分方程的右端f(x)=f1(x)+f2(x)y1*(x)与y2*(x)分别是)()()(1xfyxqyxpy)()()(2xfyxqyxpy与的解则y1*(x)+y2*(x)是)()()()(21xfxfyxqyxpy的解即)()()(xfyxqyxpy§5.5二阶常系数线性微分方程1.二阶常系数线性非齐次微分方程)(xfqyypy0qyypy2.二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性微分方程•二阶常系数线性微分方程的一般形式是ypyqyf(x)，其中p、q均为常数。•二阶常系数线性齐次微分方程：y+py+qy=0•二阶常系数线性非齐次微分方程：ypyqyf(x)(f(x)0)1.二阶常系数齐次线性微分方程考虑到当y、y、y为同类函数时有可能使ypyqy恒等于零而函数erx具有这种性质所以猜想erx是方程的解将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解分析方程ypy