数学物理方程试卷及答案

考试试题纸卷课程名称数理方法专业班级2017题号一二三四五六七八九十总分题分201515152015100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、填空题（按顺序将正确答案填写到答题本上。本大题共5小题，每小题4分，共20分）1每一个物理过程都处在特定的条件之下，常常使用一个偏微分方程和相应的初始条件和边界条件对物理过程中的某个状态的变化过程进行描述，形成一个（A）问题。偏微分方程只给定初始条件时称为（B）问题。解的（C）称为问题的适定性。2二阶线性偏微分方程2225650uuxutxxt属于（D）型方程。3以下说法：（1）第一类n阶Bessel函数()nJx与第二类Bessel函数()nYx是线性无关的；（2）半奇数阶的第一类Bessel函数都是初等函数；（3）任意两个第一类Bessel函数()()nnJxJx、都是线性相关的；（4）对任何正数n,lim()0nxJx；（5）n为整数时，(0)0nJ，n不为整数时，(0)nJ。其中正确的有（E）。4由波动方程22222230uuuttxx确定的解(,)uxt依赖过(,)xt的两条直线在x轴所截得的区间（F）上的初始条件00|(),|()tttuxux，这两条直线与x轴围成的三角形区域称为由依赖区间所确定的（G）.5边值问题0''0'|0,|0xxLXXXX的固有值为（H）,固有函数为（I）.二、（15分）用达朗贝尔公式求解半无界区域上弦振动定解问题：22222000=,000,,xxttuuxttxuuuxxt，三、（15分）用分离变量法求解定解问题：22220100=4,01,0|0,|0|sin,|0xxxxtttuuxttxuuuxu四（15分）求解定解问题：22201020100,0txxxtuuxtexttxuutu，，五、（20分）I求证2(),0Fe的Fourier逆变换为241()2xfxe；II用积分变换法求解下列定解问题：2(,),(,0)(,0)()txxuaufxyxtuxx六、（15分）I求证二阶线性微分方程22'''()0xypxyqxry(0)q都可在适当变量替换下化为Bessel方程。II求解22''3'4(6)0xyxyxy的通解。参考解答：一、填空题1.A定解B初值（或Cauchy问题）C存在性、唯一性和稳定性2.D双曲3.E(1)(2)(4)4.F[x-3t,x+t],G决定区域5.H222(21)(1,2,)4nnLI(21)cos(1,2,)2nxXnL二、解：无界区域上波动方程200,,0|(),|()tttttttuauxtuxux的达朗贝尔公式为：22()()1(,)()22xatxatxatxatuxtda对于本题所给半无界区域上的自由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：2(),()||xxxx即可，2a,代入达朗贝尔公式得22222222(2)(2)1()||2224,25(4),24xtxtxtxtuxdxxttxtxtxt二、解：设(,)()()uxtXxTt，则()''()4''()()XxTtXxTt，分离变量成为''()''()4()()TtXxTtXx，则''()()0,'(0)'(1)0''()4()0XxXxXXTtTt，解前一方程，得固有值22(0,1,2,)nnn和固有函数()cosXxnx，代入方程''()4()0TtTt中可得()cos2sin2TtAntBnt，1,2,3,)n（由叠加原理，原方程有解1(,)(cos2sin2)cosnnnuxtAntBntnx。考虑所给初值条件，有：01sincos02cosnnnnxAnxBnnx，则1002sinAxdx，10202sincos4(1)nnAxnxdxnn为奇数为偶数，0nB故，原问题的定解为2124(,)cos4cos2(41)nuxtntnxn。四、解：首先，作变换(,)(,)(,)uxtvxtwxt，将边界齐次化，只需令(,)(1)wxtxt原定解问题就可化为函数(,)vxt的定解问题：22010(1)2|0,|0,|0ttxxxxxtvxvtxxtevvv，特别地，当2时泛定方程可进一步化为更简单的形式ttxxvve。然后，对上述方程求由齐次泛定方程导出的方程''()()0XxXx在边界'(0)(1)0XX时的固有值221()(1,2,)2nn和固有函数1()cos()2Xxnx，(1,2,)n利用常数变易法构造满足原泛定方程的解11(,)()cos()2nnvxtTtnx代入得：22111('()()())cos()22tnnnTtnTtnxe。由于114(1)11cos()(21)2nnnxn，可令12214(1)'()()()2(21)(0)0ntnnneTtnTtnT解得221()122232(1)()()(21)(4(21))ntntneeTtnn，故原方程的解为：221()12222132(1)()1(,)cos()(21)(4(21))2ntntneeuxtxtnxnn五、解：I22224()42111()()2222xxjxjxjxefxFedeedeedII对所给初值问题关于变量x作Fourier变换，记(,)[(,)](,)ixUyFuxtuxtedx，并设(,)fxt的Fourier变换为(,)Ft，()x的Fourier变换为()，得：220[,]|[]tdUaUFtdtU，对其求解可得222222224()4()00(,)()(,)[()][](,)[]22()xxatatttatateeUteFtedFxFFFdatat.进行Fourier逆变换，并利用卷积性质，有：2222222222()4()404400(,)()(,)22()11()(,)2211(2)(2,)xatatttaatteeuxtddfxdatatdxedfxtedataxateddfxated六、I证：令取/xtq，()()(/)(/)()yxxPxtqPtqtYt，则112'()('()()),''()(''()2'()(1)())yxtYttYtqyxtYttYttYtq代入方程22'''()0xypxyqxry中，变形为22''()(2)'()((1))()0tYtptYtxqrpYt若令121,2pp，方程成为：2221''()'()((1))()04xYxxYxxqrpYx这是一个n阶Bessel方程2(4(1)/2)nprpII解：对所给方程，取3,4,6pqr得211,4(1)/252pnqrp知所给方程化成的Bessel方程是5阶的，有通解12()()()nnYtcJtcYt，因此，原方程的通解为11525()((2)(2))yxxcJxcYx。