第一节 随机变量及其概率分布

1第二章本章用定量的方法，从整体上来研究随机现象。随机变量及其分布2§1随机变量及其概率分布在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数).例如，掷一颗色子面上出现的点数；八月份杭州的最高温度；每天从杭州下火车的人数；昆虫的产卵数；一、随机变量的概念和例32、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例1抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.我们引入记号：，若若THXX,0,1)(显然，该试验有两个可能的结果：TH,于是我们就可以用}1{X表示出现的是正面，而用}0{X表示出现的是反面。X就是一个随机变量。4定义设随机试验E的样本空间是Ω，若对于每一个e∈Ω,有一个实数X(e)与之对应,即X=X(ω)是定义在Ω上的单值实函数，称它为随机变量(randomvariable,简记为r.v.)。X(ω)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？ω.5（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母等表示.，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点.6随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究，并可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛深入的研究和讨论。分类：实际中遇到的随机变量有两大类型连续型随机变量离散型随机变量7如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，二、离散型随机变量的概率分布则称X为离散型随机变量.对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？2）取每个可能值的概率是多少？设离散型随机变量X的可能取值为,,21xx，而,}{PkkpxX,2,1k称之为离散型随机变量X的概率分布或分布律。8或写成如下的表格形式：,}{PkkpxX,2,1kXP1x2xkx1p2pkp显然，其中ip必须满足以下两个条件：(1)非负性0ip；(2)规范性iip1。9袋中有2只蓝球3只红球，非还原抽取3只，记X为抽得的蓝球数，求X的分布律。X可能取的值是0,1,2，}0{PX例1解3533CC,101}1{PX352312CCC,106}2{PX351322CCC.103所以X的分布律为XP012101106103或表示为,CCC}{P35332kkkX.2,1,0k10设一汽车在开往目的地的路上需经过三组信号灯，每组信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数(设各盏信号灯的工作是相互独立的)，求X的概率分布.依题意,X可取值0,1,2,3.设Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3路口3路口2路口1例2解}0{PX)(P1A.2111路口3路口2路口1路口3路口2路口1}1{PX)(P21AA.41}2{PX)(P321AAA.8112路口3路口2路口1不难看出.1)(P30iiX}3{PX)P(321AAA.81所以X的分布列为XP01221418138113在下列情形下，求其中的未知常数a，已知随机变量的概率分布为：例3解;),,2,1()1(}{P)1(nknnakkX.)1,0(}{P)2(1kakxk(1)由规范性,nkkX1}{P1nkknna1)1(,22)1()1(annnna.2a所以(2)}1{P}0{P1XX．215a，2aa)215(舍去a14三、随机变量的分布函数为了对各类随机变量作统一研究，下面给出既适合于离散型随机变量又适合于连续型随机变量的概念——随机变量的分布函数。定义设X为随机变量，称实函数RxxXxF,}{P)(为X的分布函数。有对任意实数,)(,baba}{PbXa)()(aFbF}{P}{PaXbXxaxb15分布函数的基本性质：RxxF,1)(0)1(；是单调不减函数)()2(xF；1)(,0)()3(FF(4))(xF是右连续的：)()(lim00xFxFxx.设X为离散型随机变量，分布律为,,2,1,}{PkpxXkkRxxXxF,}{P)(xxkkpxXxF}{P)(则16例4解设随机变量X的分布律为:XP013/126/12/1求X的分布函数F(x).,0时当x,10时当x;0}{P)(xXxF,21时当x}{P)(xXxF；31}0{PX,2时当x；216131}1{P}0{P)(XXxF.1}2{P}1{P}0{P)(XXXxF17故下面我们从图形上来看一下.2,121,2/110,3/10,0)(xxxxxF,0时当x,10时当x;0)(xF,21时当x；31)(xF,2时当x；21)(xF.1)(xF182,121,2/110,3/10,0)(xxxxxF2161分布函数的图形3110x1)(xF2一般，离散型随机变量的分布函数呈阶梯形.19四、连续型随机变量的概率密度定义如果对于随机变量X的分布函数为)(xF，存在非负可积函数)(xf，使对任意Rx，有，xttfxFd)()(则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。由定义，根据高等数学变限积分的知识知，连续型随机变量的分布函数是连续函数。20概率密度函数f(x)的基本性质：(1)非负性：0)(xf，Rx.(2)规范性：.1d)(xxf，xttfxFd)()(这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某随机变量的概率密度的充要条件.10x)(xf21概率密度函数f(x)的其它性质：，xttfxFd)()((3)对于任意实数ba,有.d)(}{PbaxxfbXa)()(aFbF(4)若)(xf连续,则有)()(xFxf.密度函数)(xf与分布函数)(xF的关系：，xttfxFd)()(.)()(xFxf22(1)连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即,对于任意常数c,有.0}{PcX(2)若X是连续型随机变量,则说明：而{X=c}并非不可能事件,称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出；A由P(B)=1,不能推出.B}{P}{PbXabXa.}{P}{PbXabXa23例5解已知随机变量X的概率密度函数为其它,010,)(xxAxf确定系数A，并求X的概率分布函数F(x).10dd)(xxAxxf，12A.21A;0d)()(,0xttfxFx时当，xttfxFd)()(ttxFxxd21)(,100时当；x24.1d21)(,110ttxFx时当.111000)(xxxxxF0x)(xF125例6三个同一种电气元件串联在一个电路中，元件的寿命是随机变量(小时)，假设其概率密度为．，若，，若1000100100)(2xxxxf且三个元件的工作状态相互独立．试求，(1)该电路在使用了150小时后，三个元件仍都能正常工作的概率α；(2)该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损坏的概率β．26解．，若，，若1000100100)(2xxxxf(1)设kX为第k个元件的寿命，则}150{kkXA(1)该电路在使用了150小时后，三个元件仍都能正常工作的概率α；表示“在使用了150个小时后，第k个元件仍然能正常工作”：)3,2,1(k}150{P)(PkkXA1502d100xx．32)(P321AAA．278)](P[13A27解．，若，，若1000100100)(2xxxxf(2)该电路在使用了300小时后，至少有一个元件损坏的概率β．(2)设)3,2,1(}300{kXBkk表示第k个元件的寿命小于300小时，则}300{P)(PiiXB3001002d100xx)(321BBBP,32)()()(1321BPBPBP．27263)321(128练习：P67习题二