Ch1 条件概率,全概率公式(二)

第一章随机事件与概率（二）本章要点了解概率论中的一些基本概念:随机试验,样本点,样本空间.事件的关系和运算.了解概率的统计定义和古典概型.了解概率的公理化定义及相关性质,掌握古典概型中概率的计算方法.五、条件概率与事件的独立性1.条件概率引例某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的相同牌号的冰箱台,甲厂生产的台中有台次品.乙厂生产的100540台中有台是次品.今工商质检队随机地从库存的6010冰箱中抽检一台,那么抽检到的台是次品（记为事件）1A的概率有多大？转变为在事件发生的前提下（增加了一个附带条件）,B15.100PA由古典概率的计算,知若商店有意让质检队从甲厂生产的产品中抽检台,那1么这台是次品的概率又是多少？1容易得到,此时的概率为5.40P注意到这两个概率是不同的,想想为什么?从甲厂生产的产品中抽取台（记为事件）,则问题B1即在“抽到的产品是甲厂生产”的条件下,求事件发生A注意到,|.PAB的概率.如此概率称为条件概率,记为155,,40100PBPAB从而有关系:55/100|.4040/100PABPABPB⑴下面就几何概率,验证上式的正确性.,,mBmABPBPABmm设样本空间是某个区域,每个样本点出现的可能性相同,则由几何概率的计算公式得:在事件发生的前提下（样本空间从缩小到）,事BB件发生的概率为A|.mABPABmB由此得到|.PABPABPB定义给定一个随机试验,|.PABPABPB是相应的样本空间,对于任意两个事件,,AB其中0,PB称为在已知事件发生的条件下,事件的条件概率.BA可以验证,条件概率|PB满足概率公理化定义中的条公理.3|.PABPABPB例21某建筑物按设计要求使用寿命超过年的概率为500.8,超过年的概率为600.6,该建筑物使用寿命超过5010年后,它将在年内倒塌的概率有多大?解设事件表示“该建筑物使用寿命超过年”,事件A50B表示“该建筑物使用寿命超过年”.60由题意,得0.8,0.6.PAPB又因为0.6,ABPABPB故所求的条件概率为|1|PBAPBA0.6110.25.0.8PABPB例22某袋中有红球6个,白球4个,取二次球,每次取一解记分别表示第一、第二次取红球的事件.由条,AB.59PBA注意到,此时且65,,109610PPABA个.求在第一次取到红球的条件下,第二次也取到红球的概率（不放回）.件在第一次取红球的条件下第二次取红球的概率为:由⑴得.5|99PABPBAPA设为事件,且由条件概率公式,AB()0,PA.PABPBAPA变形后有.|PABPBAPA2.乘法公式⑵进一步地有设为事件,则12,,,,nAAA11nnPAAA112121||nnnnnPAAAAPAAA211.|PAAPA⑶例23（机遇问题）解以表示第人摸到奖券这一事件,则1,2,3,4iiiA1234.DAAAA由乘法公式得四个人摸到的概率.设有十人摸一张有奖的奖券,求第第四人摸到的事件为4321PAAAA1432132121|||PPPPAAAAAAAAAA.178917891010121(),|,aacPAPAAababc321|,22AAacPAabc例23设袋中有个红球和个白球.每次随机地从袋ab的球,共取了次,试求次取到的都是红球的概率.33解设事件表示第次取到的是红球,iAi1,2,3,i则中取球,然后把原球放进,再放进个与取出的球同色1c所以123321211||AAAAPAAPAPAAP.22acaabcabacabc⑴独立的意义问题的引出:设是随机试验,是相应的样本空间,E是两个事件.在前面的众多例子中,我们看到,在一,AB般情况下,事件的发生都会对事件的发生产生影响,AB|.PBAPB但某些情况下,事件的发生与的发生没有任何影响.AB用数学公式来反映的话即为:2.随机事件的独立性例24一袋中装有个4白球,2个黑球,从中有放回取两次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的AB22642,.363PAPB又有条件概率公式4/92|.2/33PABPBAPA每次取一个.求在第一次取到的是白球的条件下,第二次取到的也是白球的概率.也是白球,则有即:|.PBAPB上式表明:事件的发生对事件的发生没有任何影响.AB|.PBAPB再由条件概率公式:|,PABPBAPA实际上,由于该问题是一个放回抽样问题,常识告诉我们,AB事件不应该对事件产生影响.由上式:和前式相比较,有.PABPAPB为此,我们引入下面概念.定义设为事件,且满足,AB则称事件是独立的.,AB,PABPAPB⑵独立性⑷定理如果0,PA件是.|PABPA则事件独立的充分必要条,AB定理下列个命题是等价的:4⑴事件与相互独立;AB⑵事件与相互独立;AB⑶事件与相互独立;AB⑷事件与相互独立.AB注意该定理的意义.定义设为事件组,且任取有12,,,nAAA2,kkn则称是相互独立的.12,,,nAAA1212,iiikiiikPAAAPAPAPA当时,事件组独立的含义是:3n123,,AAA1212,PAAPAPA1313,PAAPAPA2323,PAAPAPA123123.PAAAPAPAPA当⑸成立,则称事件组是两两独立的.123,,AAA⑸⑹例25某项工作交由三个人独立完成,设这三人完成的解设分别表示第一,第二,第三人完成该工123,,AAA10.5,PA20.6,PA30.7,PA再设事件表示工作被完成,则因B123,BAAA,1PBPB又123123,BAAAAAA0.5,0.6,0.7,概率分别为求该项工作被完成的概率.作,则所以123123PBPAAAPAPAPA0.50.40.30.06.所以0.94.PB注意求解该类题的一般方法.0.4%例26已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,解事件“混合后的血清中含有肝炎病毒”等价于“100个12100121001PAAAPAAA且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的.今混合100个人的血清,试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率iA人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.设事件表1,2,,100,i则所求概率为:示“第个人的血清中含有肝炎病毒”,i10010011110.0040.33,iiPA即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为0.33.此例说明,小概率事件在多次的重复试验中会有较大可能出现.3.独立性在可靠性问题中的应用可靠性问题是系统设计,产品质量控制中的一类重要问题.在以下讨论中,假设各元件是否能正常工作是相互独立的.解设表示各部件正常,12,,,nAAA1211.nnniiiiPPAAAPAp靠度为因此系统的可靠度为例27设一个系统由个元件串联而成,第个元件的可ni,1,2,,.ipin试求这个串联系统的可靠度.B表示系统正常,则系统正常等价于每个部件正常.这样的问题称为串联系统问题.例28设某台设备由六部件组成,已知该设备出故障解设表示各部件正常,表示设备正常,126,,,AAAB126,BAAA又126PBPAAA1261PAAA每个部件都出故障.又,每个部件工作出故障的可能性0.2,为求设备正常工作的概率.则有616110.2PAPA0.9999.该问题称为并联系统问题.221112,pppp例29设一个系统由个元件组成,其连接方式如图所4示,1234试求这个混合系统的可靠度.解元件组成一个并联系统,1,2相应的可靠度为该系统与元件组成一个串联系统,此时可靠度为3222.pppp最后与元件构成并联系统,故相应的可靠度为4123421121ppppp23423.pppp⑴贝努利试验目标是相互独立的.则称这个试验为贝努利试验,相应的数学模型称为贝努4.贝努利概型和二项概率甲、乙、丙名射手向同一目标射击,把每个射手的3射击看做是一个试验,共有个试验.3假定每个射手射中假定个试验的试验结果是相互独n立的,便称这个试验相互独立.n如果在次试验中,我们只关心某个事件是否发生,1A利概型.通常记01,PApp则1.PAp如果把贝努利试验独立地重复做次,这个试验合在一nn起称为重贝努利概型.n设事件表示“重贝努利试验中事件恰好发生次”nkBAk0,1,,.kn在指定的次试验中发生而其余的为的概率为:AkA11ppppk1.nkkppnk注意到,这样的指定方式总共有个,所以所求概率knC为1.nkkkknPBCpp又因为这样的概率仅和数有关,因而上式常常简记k为1.nkkknnPkCpp通常又称上式为二项概率.⑺例30抛起一枚均匀的硬币次,试求恰出现次正面向36上的概率.解此时16,3,.2nkp由公式⑺得3336611530.3125.2216PC例31设某人开车回家,途经6个道口,已知在每个道口解此为的二项概率.由公式⑺得6,0.4np1.6424640.40.60.1382.PC2.0615016610.40.60.40.60.4868.CC66212101PXPXPP遇红灯的概率为0.4,求1.恰好遇到4个红灯的概率;2.至少遇到二个红灯的概率.例32某小区有10部电梯,每部电梯发生故障的概率为解此问题是的二项概率,以表示在10,0.2npX3,PX103731030.20.80.2013.PC0.2,求在同一时刻有三部电梯发生故障的概率.同一时刻电梯发生故障的台数,则问题为求概率由公式⑺得该问题可以进一步延伸为:某小区有200部电梯,每部电梯发生故障的概率为0.02,电梯发生故障时,物业管理部门需要派出一名维修工人进行修理.要保证电梯发生故障时,物业管理部门一定有维修工人可以派遣,则一个最可靠的方法是,为每一部电梯都安排一个维修人员.但实际上,没有一个物业管理部门会这样做.现在的问题是,如果我们要求以95%的把握保证当电梯发生故障时,物业部门有维修人员可以派遣,则应该聘用多少名维修人员？若以表示发生故障的电梯台数,表示聘用的维修人XN0.95.PXN即要找到适当的使上式成立.若用公式⑺进行计算,N员数,则问题为则问题是比较复杂的.在下一章中,我们寻找更好的方法来解决该问题.例33甲、乙两名选手进行比赛,已知甲的实力较强,每盘棋获胜的概率为0.6,假定每盘棋的胜负是相互独立的,在下列种情况下,试求甲最终获胜的概率.3⑴采用三盘比赛制;⑵采用五盘比赛制;⑶采用九盘比赛制.解每盘比赛只有“甲胜”（记作）与甲负（记作）AB两种结果，此为一个贝努利概型.0.6.p⑴⑵⑶3,n22323333230.60.40.60.4PPPCC0.648.555345PPPP0.68256.5,n9,n99999550.60.4kkkkkPPkC0.734.1.完备事件组六、全概