数学物理方程期末试卷与答案分析

12012学年第二学期数学与物理方程期末试卷出卷人：欧峥1、长度为l的弦左端开始时自由，以后受到强度为sinAt的力的作用，右端系在弹性系数为k的弹性支承上面；初始位移为(),x初始速度为().x试写出相应的定解问题。(10分)2、长为l的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q，杆的初始温度分布是()2xlx，试写出其定解问题。(10分)3、试用分离变量法求定解问题(10分)：.xtxxutuuuutxx2,0,00,40,040224、分离变量法求定解问题(10分)222sincos,(0,0)(0,)3,(,)64(,0)31,(,0)sinttxxtuauxxxltllutultxuxuxxll5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：).()(0022222xuxuxuatuatxatx)0()0(26、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）0,2sin0,,cos0022222tttuxutxxxuatu7、用积分变换法求解定解问题（10分）：,1,10,0,1002yxuyuyxyxu8、用积分变换法求解定解问题(10分)：0)0,(,sin)0,(0,,2xuxxutRxuautxxtt9、用格林函数法求解定解问题(10分)：222200,y0,(),.yuuxyufxx10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10分)3答案及分析1、解:这是弦的自由振动，其位移函数(,)uxt满足2,ttxxuau（2分）其中2Ta.由于左端开始时自由，以后受到强度为sinAt的力的作用，所以(0,0)0,(0,)sin0,0,xxuTutAtt因此sin(0,),0.xAtuttT（2分）又右端系在弹性系数为k的弹性支承上面，所以(,)(,)0,xTultkult即(,)(,)0.xTultkult（2分）而初始条件为00(),().tttuxux（2分）因此，相应的定解问题为200,0,0,sin(0,),(,)(,)0,0.(),().ttxxxxtttuauxltAtutTultkulttTuxux（2分）2、解：侧面绝热，方程为2,0,0txxuauxlt（3分）边界条件为00,,0xxxlquutk（3分）初始条件为0(),02txlxuxl（3分）因此，相应的定解问题为：42,0,0txxuauxlt00,,0xxxlquutk0(),02txlxuxl（1分）3、解令)()(),(tTxXtxu（2分），代入原方程中得到两个常微分方程：0)()('tTtT，0)()(''xXxX（2分），由边界条件得到0)4()0(XX，对的情况讨论，只有当0时才有非零解，令2，得到22224n为特征值，特征函数4sin)(nBxXnn(1分)，再解)(tT，得到16;22)(tnnneCtT（2分），于是,4sin(),(16122xneCtxutnnn（1分）再由初始条件得到140)1(164sin242nnnxdxnxC（1分），所以原定解问题的解为,4sin)1(16),(161122xnentxutnnn（1分）4、解：令(,)(,)()uxtVxtWx（1分）将其代入定解问题可以得到：2,(0,0)(0,)0,(,)0.....(1)4(,0)31(),(,0)sinttxxtVaVxltVtVltxVxWxVxxll（1分）222()sincos0(2)(0)3,()6aWxxxllWWl（1分）(2)的解为：2224()sin3132lxWxxall（2分）5对于(1)，由分离变量法可得一般解为1(,)cossinsinnnnnatnatnxVxtablll（2分）由初始条件可求得：222444(,)cossinsin324lalatxVxttalall(2分)所以，原定解问题的解为：2222224444(,)cossinsinsin3132432lalatxlxuxttxalallall(1分)5、解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)（2分）令x-at=0得)(x=F（0）+G（2x）（2分）令x+at=0得)(x=F（2x）+G(0)（2分）所以F(x)=)2(x-G(0).G（x）=)2(x-F(0).（2分）且F（0）+G(0)=).0()0(（1分）所以u(x,t)=()2atx+)2(atx-).0(（1分）即为古尔沙问题的解。6、解令)(),(),(xwtxvtxu(1分)，代入原方程中，将方程齐次化，因此xaxwxxwaxxwxvatvcos1)(0cos)(cos)]([2''2''22222(2分)，再求定解问题,0),(cos12sin0,02022222tttvxxwaxtxvatvv(2分)由达朗贝尔公式得到以上问题的解为6atxaatxatxaatxataaatxtxvcoscos1cossin0)]cos(1)(2sin)cos(1)(2[sin21),(222(4分)故.cos1coscos1cossin),(22xaatxaatxtxu(1分)7、解对y取拉普拉斯变换),()],([pxUyxuL(1分)，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到ppUpdxdUpx11,120(3分)，解这个微分方程得到ppxppxU111),(22(3分)，再取拉普拉斯逆变换有1),(yyxyxu(2分)所以原问题的解为1),(yyxyxu.(1分)8、解：对于初值问题关于x作Fourier变换，得：0)0,(ˆ),(sin)0,(ˆ0,),,(ˆd),(ˆd2222tuxFutRxtuattu（2分）该方程变为带参数的常微分方程的初值问题。解得tjatjaeCeCtu21),(ˆ（2分）于是0)()0,(ˆ,)(sin)0,(ˆ2121CCjauCCxFut（2分）则由)(sin2121xFCC，得：))((sin21),(ˆtjatjaeexFtu。（2分）作像函数),(ˆtu的Fourier逆变换atxatxatxeexFFtuFtxutjatjacossin)]sin()[sin(21))((sin21)],(ˆ[),(11（2分）9、解：设),(000yxM为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为dSnurrnMuMuMMMM)1ln)1(ln)((21)(000(1分)7设v为调和函数，则由第二格林公式知0)()(22dSnuvnvuduvvu（2）（1）＋（2）可得dSnuvrdSrnnvMuMuMMMM])1ln21(])1(ln21)(([)(000(2分)若能求得v满足00201ln210,0yMMyrvyv（3）则定义格林函数vrMMGMM01ln21),(0，则有dSnGMuMu)()(0(2分)由电象法可知，),(001yxM为),(000yxM的象点，故可取11ln21MMrv(1分)显然其满足（3）。从而可得格林函数))()()()()()((21)1ln1(ln211ln211ln21),(202002020001010yyxxyyyyxxyyrryyGnGrrMMGMMMMMMMM(3分)故而dfyxydSnGMuMu)()(1)()(202000(1分)10、解：（1）格林函数公式（三维）为：G（M，M0）=014MMr—g（M，M0）M（2分）其中函数g满足的条件为：8001|4MMgMgr式中为区域的边界曲面（3分）（2）格林函数的物理意义：在某个闭合导电曲面内M0点处放一个单位正电荷，则有它在该导电曲面内一点M处产生的电势为014MMr（不考虑电介常数），将此闭合导电曲面接地，又静电平衡理论，则M0将在该导电曲面上产生负感应电荷，其在M处的电势—g（M，M0），并且导电面上的电势恒等于0，即有|g=014MMr（5分）