2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章 第10节 函数模型及其应用

第二章函数、导数及其应用第十节函数模型及其应用第二章函数、导数及其应用[主干知识梳理]一、几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)第二章函数、导数及其应用指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)第二章函数、导数及其应用二、三种增长型函数模型的图象与性质函数y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与平行随x增大逐渐表现为与平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴第二章函数、导数及其应用[基础自测自评]1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)B[由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)．]第二章函数、导数及其应用2．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()B[由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选B.]第二章函数、导数及其应用3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件B[利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]第二章函数、导数及其应用4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成____________________________________________________________________．解析依题意有y＝a(1－p%)x(0x≤m)．答案y＝a(1－p%)x(0x≤m)第二章函数、导数及其应用5．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)第二章函数、导数及其应用解析设矩形的长为xm，宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2500m2.答案2500m2第二章函数、导数及其应用[关键要点点拨]第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用2．解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数；的限制条件．第二章函数、导数及其应用[典题导入]为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．一次函数与二次函数模型第二章函数、导数及其应用已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？第二章函数、导数及其应用[听课记录]设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．第二章函数、导数及其应用[规律方法]1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．第二章函数、导数及其应用[跟踪训练]1．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？第二章函数、导数及其应用解析如图，剪出的矩形为CDEF，设CD＝x，CF＝y，则AF＝40－y.∵△AFE∽△ACB，∴AFAC＝FEBC，即40－y40＝x60.第二章函数、导数及其应用∴y＝40－23x.剩下的残料面积为S＝12×60×40－x·y＝23x2－40x＋1200＝23(x－30)2＋600.∵0x60，∴当x＝30时，S取得最小值为600，这时y＝20.∴在边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时，能使所剩残料最少．第二章函数、导数及其应用[典题导入](2014·武汉模拟)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为0.05t－120000t2万元．分段函数模型第二章函数、导数及其应用(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．第二章函数、导数及其应用[听课记录](1)当0＜x≤500时，f(x)＝0.05x－120000x2－0.25×x100＋0.5＝－x220000＋19400x－12，当x＞500时，f(x)＝0.05×500－120000×5002－0.25×x100＋0.5＝12－1400x，故f(x)＝－120000x2＋19400x－12（0＜x≤500），12－1400x（x＞500）.第二章函数、导数及其应用(2)当0＜x≤500时，f(x)＝－x220000＋19400x－12＝－120000(x－475)2＋34532，故当x＝475时，f(x)max＝34532.当x＞500时，f(x)＝12－1400x＜12－54＝34432＜34532，故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．第二章函数、导数及其应用[规律方法]1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．第二章函数、导数及其应用[跟踪训练]2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．第二章函数、导数及其应用解析(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.第二章函数、导数及其应用所以y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43.(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈0，45时，y≤f4526.4；当x∈45，43时，y≤f4326.4；第二章函数、导数及其应用当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70元；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．第二章函数、导数及其应用[典题导入]一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.指数函数模型第二章函数、导数及其应用(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？第二章函数、导数及其应用[听课记录](1)设每年降低的百分比为x(0x1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即12m10＝1212，m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．第二章函数、导数及其应用(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，12n10≥1232，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．第二章函数、导数及其应用[规律方法]增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解．第二章函数、导数及其应用[跟踪训练]3．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．第二章函数、导数及其应用(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．第二章函数、导数及其应用解析(1)由图象，设y＝kt（0≤t≤1），12t－a（t＞1），当t＝1时，由y＝4得k＝4，由121－a＝4得a＝3.所以y＝4t（0≤t≤1），12t－3（t＞1）.第二章函数、导数及其应用(2)由y≥0.25得0≤t≤1，4t≥0.25或t＞1，12t－3≥0.25，解得116≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．第二章函数、导数及其应用(2014·长沙十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.【创新探究】函数的实际应用问题第二章函数、导数及其应用(1)请