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第六章不等式、推理与证明第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式第六章不等式、推理与证明[主干知识梳理]一、实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔；a－b＝0⇔；a－b＜0⇔．a＞ba＝ba＜b第六章不等式、推理与证明性质性质内容注意对称性ab⇔⇔传递性ab，bc⇒⇒二、不等式的基本性质baac第六章不等式、推理与证明可加性ab⇒⇒abc0⇒可乘性abc0⇒c的符号a＋cb＋cacbcacbc第六章不等式、推理与证明同向可加性abcd⇒⇒同向同正可乘性ab0cd0⇒⇒a＋cb＋dacbd第六章不等式、推理与证明可乘方性ab0⇒(n∈N，n≥2)可开方性ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)同正anbn第六章不等式、推理与证明[基础自测自评]1．(教材习题改编)下列命题正确的是()A．若ac＞bc⇒a＞bB．若a2＞b2⇒a＞bC．若1a＞1b⇒a＜bD．若a＜b⇒a＜bD第六章不等式、推理与证明2．若x＋y0，a0，ay0，则x－y的值()A．大于0B．等于0C．小于0D．不确定A[由a0，ay0知y0，又x＋y0，所以x0.故x－y0.]第六章不等式、推理与证明3．已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C[当a0且b＞0时，一定有a＋b0且ab0.反之，当a＋b0且ab＞0时，一定有a＞0，b＞0.故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．]第六章不等式、推理与证明4.12－1________3＋1(填“”或“”)．解析12－1＝2＋1＜3＋1.答案第六章不等式、推理与证明5．已知a，b，c∈R，有以下命题：①若ab，则ac2bc2；②若ac2bc2，则ab；③若ab，则a·2cb·2c.其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c0知成立．答案②③第六章不等式、推理与证明[关键要点点拨]1．使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．第六章不等式、推理与证明[典题导入]已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，试比较S3a3与S5a5的大小．[听课记录]当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3＜S5a5；比较两个数(式)的大小第六章不等式、推理与证明当q＞0且q≠1时，S3a3－S5a5＝a1（1－q3）a1q2（1－q）－a1（1－q5）a1q4（1－q）＝q2（1－q3）－（1－q5）q4（1－q）＝－q－1q4＜0，所以S3a3＜S5a5.综上可知S3a3＜S5a5.第六章不等式、推理与证明[互动探究]若本例中“q＞0”改为“q＜0”，试比较它们的大小．解析由例题解法知当q≠1时，S3a3－S5a5＝－q－1q4.当－1＜q＜0时，S3a3－S5a5＜0，即S3a3＜S5a5；当q＝－1时，S3a3－S5a5＝0,即S3a3＝S5a5；当q＜－1时，S3a3－S5a5＞0，即S3a3＞S5a5.第六章不等式、推理与证明[规律方法]比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．第六章不等式、推理与证明(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．[注意]用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]1．已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()A．c≥b＞aB．a＞c≥bC．c＞b＞aD．a＞c＞b第六章不等式、推理与证明A[c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝a－122＋340，∴1＋a2a.∴b＝1＋a2a.∴c≥ba.]第六章不等式、推理与证明[典题导入](1)(2014·北京西城模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使ab成立的必要而不充分的条件是()A．a＞b－1B．a＞b＋1C．|a|＞|b|D．2a＞2b不等式的性质第六章不等式、推理与证明[听课记录]由ab⇒a＞b－1，但由a＞b－1不能得出a＞b，∴a＞b－1是a＞b成立的必要而不充分条件；由ab＋1⇒ab，但由ab不能得出ab＋1，第六章不等式、推理与证明∴a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；易知ab是|a||b|的既不充分也不必要条件；ab是2a2b成立的充分必要条件．故选A.答案A第六章不等式、推理与证明(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()A．1B．2C．3D．4第六章不等式、推理与证明[听课记录]∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①错误．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，故②正确．第六章不等式、推理与证明∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选C.答案C第六章不等式、推理与证明[规律方法]1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是()A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则1a＜1bD．若a＜b＜0，则ba＞ab第六章不等式、推理与证明B[A中，只有a＞b＞0，c＞d＞0时，才成立；B中，由a＜b＜0，得a2＞ab＞b2成立；C，D通过取a＝－2，b＝－1验证均不正确．]第六章不等式、推理与证明[典题导入]已知1≤lgxy≤2，2≤lgx3y≤3，求lgx33y的取值范围．[听课记录]由1≤lgxy≤2，2≤lgx3y≤3变形，得1≤lgx－lgy≤2，2≤3lgx－12lgy≤3，不等式性质的应用第六章不等式、推理与证明令lgx－lgy＝a，3lgx－12lgy＝b，解得lgx＝2b－a5，lgy＝2b－6a5，∴lgx33y＝3lgx－13lgy＝3·2b－a5－13·2b－6a5＝1615b－15a.第六章不等式、推理与证明由1≤a≤2，2≤b≤3，得－25≤－15a≤－15，3215≤1615b≤165.∴2615≤1615b－15a≤3，即2615≤≤3，∴的取值范围是[2615，3]．第六章不等式、推理与证明[规律方法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]3．若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解析设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.则x＋y＝1，x＋2y＝3，解得x＝－1，y＝2.第六章不等式、推理与证明∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范围为[1，7]．第六章不等式、推理与证明【错解】由1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，得1≤a－b≤2，①2≤a＋b≤4.②①＋②得32≤a≤3，②－①得12≤b≤1.由此得4≤f(－2)＝4a－2b≤11.∴f(－2)的取值范围是[4，11]．【创新探究】多次使用同向不等式的可加性而致误(2014·青岛模拟)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是_______．第六章不等式、推理与证明【错因】本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f(－2)的范围扩大．第六章不等式、推理与证明【解析】解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.第六章不等式、推理与证明解法二：由f（－1）＝a－b，f（1）＝a＋b，得a＝12[f（－1）＋f（1）]，b＝12[f（1）－f（－1）].∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．第六章不等式、推理与证明又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.即5≤f(－2)≤10.【答案】[5，10]第六章不等式、推理与证明【高手支招】利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．第六章不等式、推理与证明[体验高考]1．(2013·北京高考)设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bcB.1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[当c＝0时，ac＝bc，排除A;当a或b为0时，排除B；当a＝1，b＝－2时，排除C.故选D.]第六章不等式、推理与证明2．(2012·湖南高考)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③第六章不等式、推理与证明D[根据不等式的性质构造函数求解．∵a＞b＞1，∴1a＜1b.又c＜0，∴ca＞cb，故①正确．构造函数y＝xc.∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数．第六章不等式、推理与证明又a＞b＞1，∴ac＜bc，故②正确．∵a＞b＞1，－c＞0，∴a－c＞b－c＞1.∵a＞b＞1，∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，即logb(a－c)＞loga(b－c)，故③正确．]第六章不等式、推理与证明3．(2012·四川高考)设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b＜1；②若1b－1a＝1，则a－b＜1；③若|a－b|＝1，则|a－b|＜1；④若|a3－b3|＝1.则|a－b|＜1.其中真命题有__________．(写出所有真命题的编号)第