2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第6章 第1节 不等关系与不等式

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第六章不等式、推理与证明第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式第六章不等式、推理与证明[主干知识梳理]一、实数大小顺序与运算性质之间的关系a-b>0⇔;a-b=0⇔;a-b<0⇔.a>ba=ba<b第六章不等式、推理与证明性质性质内容注意对称性ab⇔⇔传递性ab,bc⇒⇒二、不等式的基本性质baac第六章不等式、推理与证明可加性ab⇒⇒abc0⇒可乘性abc0⇒c的符号a+cb+cacbcacbc第六章不等式、推理与证明同向可加性abcd⇒⇒同向同正可乘性ab0cd0⇒⇒a+cb+dacbd第六章不等式、推理与证明可乘方性ab0⇒(n∈N,n≥2)可开方性ab0⇒nanb(n∈N,n≥2)同正anbn第六章不等式、推理与证明[基础自测自评]1.(教材习题改编)下列命题正确的是()A.若ac>bc⇒a>bB.若a2>b2⇒a>bC.若1a>1b⇒a<bD.若a<b⇒a<bD第六章不等式、推理与证明2.若x+y0,a0,ay0,则x-y的值()A.大于0B.等于0C.小于0D.不确定A[由a0,ay0知y0,又x+y0,所以x0.故x-y0.]第六章不等式、推理与证明3.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件C[当a0且b>0时,一定有a+b0且ab0.反之,当a+b0且ab>0时,一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.]第六章不等式、推理与证明4.12-1________3+1(填“”或“”).解析12-1=2+1<3+1.答案第六章不等式、推理与证明5.已知a,b,c∈R,有以下命题:①若ab,则ac2bc2;②若ac2bc2,则ab;③若ab,则a·2cb·2c.其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上).解析①若c=0则命题不成立.②正确.③中由2c0知成立.答案②③第六章不等式、推理与证明[关键要点点拨]1.使用不等式性质时应注意的问题:在使用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加,“同向且两边同正的不等式”才可相乘;可乘性中“c的符号”等也需要注意.2.作差法是比较两数(式)大小的常用方法,也是证明不等式的基本方法.要注意强化化归意识,同时注意函数性质在比较大小中的作用.第六章不等式、推理与证明[典题导入]已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,试比较S3a3与S5a5的大小.[听课记录]当q=1时,S3a3=3,S5a5=5,所以S3a3<S5a5;比较两个数(式)的大小第六章不等式、推理与证明当q>0且q≠1时,S3a3-S5a5=a1(1-q3)a1q2(1-q)-a1(1-q5)a1q4(1-q)=q2(1-q3)-(1-q5)q4(1-q)=-q-1q4<0,所以S3a3<S5a5.综上可知S3a3<S5a5.第六章不等式、推理与证明[互动探究]若本例中“q>0”改为“q<0”,试比较它们的大小.解析由例题解法知当q≠1时,S3a3-S5a5=-q-1q4.当-1<q<0时,S3a3-S5a5<0,即S3a3<S5a5;当q=-1时,S3a3-S5a5=0,即S3a3=S5a5;当q<-1时,S3a3-S5a5>0,即S3a3>S5a5.第六章不等式、推理与证明[规律方法]比较大小的常用方法(1)作差法:一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.第六章不等式、推理与证明(2)作商法:一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.(3)特值法:若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断.[注意]用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论.第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]1.已知实数a、b、c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a、b、c的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b第六章不等式、推理与证明A[c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b.将题中两式作差得2b=2+2a2,即b=1+a2.∵1+a2-a=a-122+340,∴1+a2a.∴b=1+a2a.∴c≥ba.]第六章不等式、推理与证明[典题导入](1)(2014·北京西城模拟)已知a,b∈R,下列四个条件中,使ab成立的必要而不充分的条件是()A.a>b-1B.a>b+1C.|a|>|b|D.2a>2b不等式的性质第六章不等式、推理与证明[听课记录]由ab⇒a>b-1,但由a>b-1不能得出a>b,∴a>b-1是a>b成立的必要而不充分条件;由ab+1⇒ab,但由ab不能得出ab+1,第六章不等式、推理与证明∴a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件;易知ab是|a||b|的既不充分也不必要条件;ab是2a2b成立的充分必要条件.故选A.答案A第六章不等式、推理与证明(2)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;②ad+bc<0;③a-c>b-d;④a·(d-c)>b(d-c)中成立的个数是()A.1B.2C.3D.4第六章不等式、推理与证明[听课记录]∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc,故①错误.∵a>0>b>-a,∴a>-b>0,∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴a(-c)>(-b)(-d),∴ac+bd<0,∴ad+bc=ac+bdcd<0,故②正确.第六章不等式、推理与证明∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d,故③正确.∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),故④正确,故选C.答案C第六章不等式、推理与证明[规律方法]1.判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质.2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试试,可以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假命题.第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]2.若a、b、c为实数,则下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若a<b<0,则a2>ab>b2C.若a<b<0,则1a<1bD.若a<b<0,则ba>ab第六章不等式、推理与证明B[A中,只有a>b>0,c>d>0时,才成立;B中,由a<b<0,得a2>ab>b2成立;C,D通过取a=-2,b=-1验证均不正确.]第六章不等式、推理与证明[典题导入]已知1≤lgxy≤2,2≤lgx3y≤3,求lgx33y的取值范围.[听课记录]由1≤lgxy≤2,2≤lgx3y≤3变形,得1≤lgx-lgy≤2,2≤3lgx-12lgy≤3,不等式性质的应用第六章不等式、推理与证明令lgx-lgy=a,3lgx-12lgy=b,解得lgx=2b-a5,lgy=2b-6a5,∴lgx33y=3lgx-13lgy=3·2b-a5-13·2b-6a5=1615b-15a.第六章不等式、推理与证明由1≤a≤2,2≤b≤3,得-25≤-15a≤-15,3215≤1615b≤165.∴2615≤1615b-15a≤3,即2615≤≤3,∴的取值范围是[2615,3].第六章不等式、推理与证明[规律方法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]3.若α,β满足-1≤α+β≤1,1≤α+2β≤3,试求α+3β的取值范围.解析设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.则x+y=1,x+2y=3,解得x=-1,y=2.第六章不等式、推理与证明∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,两式相加,得1≤α+3β≤7.∴α+3β的取值范围为[1,7].第六章不等式、推理与证明【错解】由1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,得1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②①+②得32≤a≤3,②-①得12≤b≤1.由此得4≤f(-2)=4a-2b≤11.∴f(-2)的取值范围是[4,11].【创新探究】多次使用同向不等式的可加性而致误(2014·青岛模拟)设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是_______.第六章不等式、推理与证明【错因】本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f(-2)的范围扩大.第六章不等式、推理与证明【解析】解法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.于是m+n=4,n-m=-2,解得m=3,n=1.∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.第六章不等式、推理与证明解法二:由f(-1)=a-b,f(1)=a+b,得a=12[f(-1)+f(1)],b=12[f(1)-f(-1)].∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).第六章不等式、推理与证明又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10.即5≤f(-2)≤10.【答案】[5,10]第六章不等式、推理与证明【高手支招】利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围,是避免错误的有效途径.第六章不等式、推理与证明[体验高考]1.(2013·北京高考)设a,b,c∈R,且a>b,则()A.ac>bcB.1a<1bC.a2>b2D.a3>b3D[当c=0时,ac=bc,排除A;当a或b为0时,排除B;当a=1,b=-2时,排除C.故选D.]第六章不等式、推理与证明2.(2012·湖南高考)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①ca>cb;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c).其中所有的正确结论的序号是()A.①B.①②C.②③D.①②③第六章不等式、推理与证明D[根据不等式的性质构造函数求解.∵a>b>1,∴1a<1b.又c<0,∴ca>cb,故①正确.构造函数y=xc.∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是减函数.第六章不等式、推理与证明又a>b>1,∴ac<bc,故②正确.∵a>b>1,-c>0,∴a-c>b-c>1.∵a>b>1,∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),即logb(a-c)>loga(b-c),故③正确.]第六章不等式、推理与证明3.(2012·四川高考)设a,b为正实数.现有下列命题:①若a2-b2=1,则a-b<1;②若1b-1a=1,则a-b<1;③若|a-b|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1.则|a-b|<1.其中真命题有__________.(写出所有真命题的编号)第

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