2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章 第6节 直接证明和间接证明

第六章不等式、推理与证明第六节直接证明和间接证明第六章不等式、推理与证明[主干知识梳理]一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论从要出发，逐步寻求使它成立的，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.成立证明的结论充分条件第六章不等式、推理与证明第六章不等式、推理与证明二、间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾第六章不等式、推理与证明[基础自测自评]1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°B[假设为“三个内角都大于60°”．]第六章不等式、推理与证明2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤bA[a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b＝ex＜1，则a＞b.]第六章不等式、推理与证明3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法B[因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．]第六章不等式、推理与证明4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是________．解析“如果ab，那么3a3b”若用反证法证明，其假设为3a≤3b.答案3a≤3b第六章不等式、推理与证明5．如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．解析∵aa＋bb＞ab＋ba⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b第六章不等式、推理与证明[关键要点点拨]1．证明方法的合理选择(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法．(2)当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．第六章不等式、推理与证明2．使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾．第六章不等式、推理与证明[典题导入](2014·福建省质检)如图1，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，T1，32为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴．(1)求椭圆E的方程；综合法第六章不等式、推理与证明(2)给出命题：“已知P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线A1P、A2P分别交直线l：x＝t(t为常数)于不同的两点M、N，点Q在直线l上．若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明；(3)试研究(2)的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S的直线m，并写出作图步骤．注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行．第六章不等式、推理与证明[听课记录](1)因为T1，32为椭圆上一点，TF2垂直于x轴，所以c＝1.连接TF1，在Rt△TF1F2中，因为|TF2|＝32，|F1F2|＝2，所以|TF1|＝52.又|TF1|＋|TF2|＝2a＝4，所以a＝2，从而b＝a2－c2＝3，所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.第六章不等式、推理与证明(2)逆命题：“已知P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线A1P、A2P分别交直线l：x＝t(t为常数)于不同的两点M、N，点Q在直线l上．若Q为线段MN的中点，则直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P”，其为真命题．证明如下：设P(x0，y0)(x0≠±2)，则x204＋y203＝1，又lA1p∶y＝y0x0＋2(x＋2)，lA2p∶y＝y0x0－2(x－2)，所以Mt，y0（t＋2）x0＋2，Nt，y0（t－2）x0－2.第六章不等式、推理与证明设MN的中点为Q(x1，y1)，则x1＝t，y1＝y0（t－2）x0－2＋y0（t＋2）x0＋22＝y0（x0t－4）x20－4，又x20－4＝－4y203，所以y1＝y0（x0t－4）x20－4＝－3（x0t－4）4y0，即点Qt，－3（x0t－4）4y0.因为x0≠t，第六章不等式、推理与证明所以kPQ＝－3（x0t－4）4y0－y0t－x0＝－3（x0t－4）－4y204y0（t－x0）＝3x20－3x0t4y0（t－x0）＝－3x04y0，则lPQ∶y＝－3x04y0(x－x0)＋y0，即y＝－3x04y0x＋3y0.由x24＋y23＝1y＝－3x04y0x＋3y0第六章不等式、推理与证明消去y并化简得：34y20x2－3x02y20x＋3y20－1＝0，所以Δ＝－3x02y202－4×34y20×3y20－1＝9x20＋12y20－364y40＝0，所以直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P.第六章不等式、推理与证明(3)如图，①任作一条不过点S的直线n垂直于双曲线的实轴；②作直线A1S、A2S分别交直线n于I、J两点；③作线段IJ的中点V，连接SV，则直线SV即为所求的直线m.第六章不等式、推理与证明[规律方法]综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]1．(2013·陕西高考)设Sn表示数列{an}的前n项和．(1)若{an}是等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝1－qn1－q.判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．第六章不等式、推理与证明解析：(1)解法一：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝n（a1＋an）2.第六章不等式、推理与证明解法二：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，∴Sn＝na1＋n（n－1）2d.第六章不等式、推理与证明(2){an}是等比数列．证明如下：∵Sn＝1－qn1－q，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝1－qn＋11－q－1－qn1－q＝qn（1－q）1－q＝qn.∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有an＋1an＝qnqn－1＝q，因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．第六章不等式、推理与证明[典题导入]△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.分析法第六章不等式、推理与证明[听课记录]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3也就是ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．第六章不等式、推理与证明[规律方法]分析法的特点与思路分析法的特点是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论等)．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]2．已知m＞0，a，b∈R，求证：a＋mb1＋m2≤a2＋mb21＋m.证明∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．第六章不等式、推理与证明[典题导入](2013·北京高考)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：x24＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．反证法第六章不等式、推理与证明[听课记录](1)因为四边形为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设At，12，代入椭圆方程得t24＋14＝1，即t＝±3.所以|AC|＝23.第六章不等式、推理与证明(2)假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由x2＋4y2＝4，y＝kx＋m消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x22＝－4km1＋4k2，y1＋y22＝k·x1＋x22＋m＝m1＋4k2.第六章不等式、推理与证明所以AC的中点为M－4km1＋4k2，m1＋4k2.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－14k.因为k·－14k≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．第六章不等式、推理与证明[规律方法]反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)第六章不等式、推理与证明[跟踪训练]3．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数．证明假设a，b，c，d都是非负数，则由a＋b＝c＋d＝1，得1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，即ac＋bd≤1，这与ac＋bd＞1矛盾，故假设不成立．即a，b，c，d中至少有一个为负数．第六章不等式、推理与证明【创新探究】放缩有“度”，巧证不等式(2013·安徽高考)设函数fn(x)＝－1＋x＋x222＋x332＋…＋xnn2(x∈R，n∈N*)．证明：(1)对每个n∈N*，存在唯一的xn∈23，1，满足fn(xn)＝0；(2)对任意p∈N*，由(1)中xn构成的数列{xn}满足0＜xn－xn＋p＜1n.第六章不等式、推理与证明【思路导析】(1)利用导数结合函数的单调性证明．(2)利用函数的单调性进行转化，注意不等式的放缩．【证明】(1)对每个n∈N*，当x＞0时，f′n(x)＝1＋x2＋…＋xn－1n＞0，故fn(x)在(0，＋∞)内单调递增．由于f1(1)＝0，第六章不等式、推理与证明当n≥2时，fn(1)＝122＋132＋…＋1n2＞0，故fn(1)≥0.又fn23＝－1＋23＋k＝2n23kk2≤－13＋14k＝2n