2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系立交桥ABCD六角螺母两条直线既不平行也不相交mmm′图1图2lm′一、空间两直线的位置关系从图中可见，直线l与m既不相交，也不平行、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线.l′Pl′的两条直线叫做异面直线.（既不相交也不平行的两条直线）我们把不同在任何一个平面内1.异面直线注：概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面”.或“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．注意:分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线,它们可能相交,也可能平行.判断：直线m和l是异面直线吗?αβlmml(1)(2),则a与b是异面直线.,ab(3)a,b不同在平面α内,则a与b是异面直线.不是是错错巩固练习异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面内的特点下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？HGFEDCBA解：三对AB与CDAB与GHEF与GH巩固练习①从有无公共点的角度有且仅有一个公共点——相交直线在同一平面内——相交直线②从是否共面的角度没有公共点——平行直线异面直线不同在任何一个平面内——异面直线平行直线空间两条直线的位置关系如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．平行异面相交异面巩固练习在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中,BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗?ABCDB'C'D'A'问题探究BB′与DD′平行公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.a∥bc∥ba∥c符号表示：设空间中的三条直线分别为a,b,c,若2.空间两平行直线例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.ABDEFGHC证明：连接BD.因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD,且EH=BD.同理，FG∥BD，且FG=BD.因为EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形.1212应用举例在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中,结论是否仍然成立呢?观察思考：如图,∠ADC与∠A′D′C′，∠ABC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？问题探究∠ADC与∠A′D′C′相等，∠ABC与∠A′B′C′相等.3.等角定理定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.ABCDEF定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.三、两条异面直线所成的角如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a、b的平行线a′和b′，则这两条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角.abPa′b′Oθ？Oa′平移若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b.异面直线所成的角θ的取值范围：090oo例2如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？解:（1）由异面直线的定义可知，与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.应用举例（2）由可知，为异面直线与的夹角,=45°所以，直线与的夹角为45°.BACCBACC//BBCCBBABBA,,,,,,,ABBCCDDAABBCCDDA(3)直线与直线垂直.AA分别(1)求两异面直线所成的角的一般步骤：①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；②证：证明作出的角就是要求的角；③计算：求角的值，常利用解三角形．可用“一作二证三计算”来概括．(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况．【提升总结】1.判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（）√×√×（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等.（）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）√×2.填空：(1)空间两条不重合的直线的位置关系有、、三种.(2)没有公共点的两条直线可能是直线，也有可能是直线.(3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系是.(4)过已知直线上一点可以作条直线与已知直线垂直.平行相交异面平行异面无数相交、异面D,,4.（2012·新课标全国卷）已知正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为11BBCC，的中点，那么异面直线AE与1DF所成角的余弦值为____________.53【解析】如图，连接1DF,DF，则DF//AE,所以DF与1DF所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则1DF=DF=5，在三角形1DDF中15+5-43cosDFD==52×5×5.EFABGFHEDC323225.如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2.(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?2323(2)因为BF∥AE，所以∠FBG（或其补角）为所求.在Rt△BFG中，求得∠FBG=60°，所以AE与BG所成的角为60°.ABGFHEDC32322解答：(1)因为GF∥BC，所以∠EGF（或其补角）为所求.在Rt△EFG中，求得∠EGF=45°，所以BC与EG所成的角为45°.异面直线相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系异面直线的定义异面直线的画法两异面直线所成的角一作(找)二证三求不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴，从此就怀疑没有蓝天彩霞。