《正弦定理和余弦定理(1)》ppt课件

对口升学考点解析·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索湘北职专高三数学备课组第四章三角函数第十二节：正余弦定理第一课时正弦定理1．正弦定理在一个三角形中，各________的长和它所对角的_____的___相等，即________＝________＝________.2．正弦定理的变形公式(1)a＝bsinAsinB＝________________，b＝asinBsinA＝______________，c＝asinCsinA＝________________.边正弦比asinAbsinBcsinCcsinAsinCcsinBsinCbsinCsinBsin(2)sinaBAbsinsinbABaasinCcbsinCcsinsincACacsinBb(3)2sinsinsinabcRABCabc2RsinA2RsinB2RsinC111(4)sinsinsin222ABCSabCacBbcA3．利用正弦定理解三角形一般地，我们把三角形的三个______和它的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的________求________的过程叫做解三角形．其他元素角几个元素知识自主训练1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，B＝60°，则sinA的值为（）[答案]AA．33B．32C．63D．62[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝4sin60°6＝23×32＝33.[答案]24．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝22，则c＝________.[解析]由已知，得C＝180°－105°－45°＝30°.∵bsinB＝csinC，∴c＝bsinCsinB＝22sin30°sin45°＝22×1222＝2.2.?Ú5．在△ABC中，若b＝5，B＝π4，sinA＝13，则a＝______.[答案]523[解析]由正弦定理，得5sinπ4＝a13，∴a＝5×13sinπ4＝5322＝523.课堂典例讲练在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形．[分析]利用A＋B＋C＝180°及正弦定理可解．[解析]根据三角形内角和定理知：C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.根据正弦定理，得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.根据正弦定理，得b＝asinBsinA＝2sin30°sin45°＝2×1222＝2，c＝asinCsinA＝2sin105°sin45°＝2sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1.在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边C．[解析]由三角形内角和定理可知A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理，得asinA＝csinC，∴c＝asinCsinA＝5sin105°sin30°＝5sin60°＋45°sin30°＝5sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝56＋22.在△ABC中，解三角形：(1)b＝4，c＝8，B＝30°；(2)a＝，b＝2，A＝30°；(3)a＝5，b＝2，B＝120°.[分析]已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形会出现一解、两解、无解的情况．[解析](1)由正弦定理，得sinC＝c·sinBb＝8sin30°4＝1.∵30°C150°，∴C＝90°.从而A＝180°－(B＋C)＝60°.a＝c2－b2＝43.(2)由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝2sin30°2＝22，∵a＜b，∴B＞A＝30°，∴B为锐角或钝角(或∵bsinA＜a＜b，∴B为锐角或钝角)，∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，又csinC＝asinA，∴c＝asinCsinA＝2sin105°sin30°＝2sin75°sin30°＝2×6＋2412＝3＋1.当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°，∴c＝asinCsinA＝2sin15°sin30°＝2×6－2412＝3－1.∴B＝45°，C＝105°，c＝3＋1或B＝135°，C＝15°，c＝3－1.(3)解法一：由asinA＝bsinB得，sinA＝asinBb＝5sin120°2＝5×322＝534＞1，∴A不存在，∴此题无解．解法二：∵a＝5，b＝2，B＝120°，∵b＜a，∴A＞B＝120°，∴A＋B＞240°与A＋B＋C＝180°矛盾．∴这是不可能的，因此本题无解．[点评]已知三角形两边及一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况，要注意讨论．解法三：∵a＝5，b＝2，B＝120°，∴asinB＝5sin120°＝532，又∵b＜asinB，∴此题无解．[答案]D已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝43×sin30°4＝32，又∵ba，∴BA，∴B＝60°或120°.在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若acosA＝bcosB，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形[分析]判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定．本题由条件式可考虑应用正弦定理把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定．[解析]由正弦定理，得ab＝sinAsinB.又acosA＝bcosB，即ab＝cosBcosA，∴sinAsinB＝cosBcosA，即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．∴2A＝2B或2A＝π－2B．∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D．[答案]D[点评]已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．在正弦定理的推广中，a＝2RsinA、b＝2RsinB、c＝2RsinC是化边为角的主要工具．在△ABC中，bcosA＝acosB，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形[答案]B[解析]由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0，∵－πA－Bπ，∴A－B＝0，∴A＝B．故选B．