数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案一、求解方程（15分）.)()(0002xuxuuauatxatxxxtt其中)0()0(。解：设atxatx＝则方程变为：0u，)()(atxGatxFu(8’)由边值条件可得：)()0()2(),()2()0(xGxFxxGF由)0()0(即得：)0()2()2(),(atxatxtxu。二、利用变量分离法求解方程。（15分）)(,)(,0,0,),(,00002xuxutuuQtxuautttlxxxxtt其中lx0。0a为常数解：设)()(tTxXu代于方程得：0''XX，0''2TaT(8’)xCxCXsincos21，atCatCTsincos21由边值条件得：21)(,0lnClxnatAatBunnnsin)sincos(1lndxlxnxlB0sin)(2，lndxlxnxanA0sin)(2三．证明方程02cuuauxxt)0(c具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性.(15分)证明：设uevct代入方程：).(),(),(),0()(02102tgtlvtgtvxvvavtxxt设21,vv都是方程的解设21vvv代入方程得：0),(,),0(0002tlvtvvvavtxxt由极值原理得0v唯一性得证。(8’)由21vv21vv，稳定性得证由uevct知u的唯一性稳定性得证。四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).,0,0zuuuuzzyyxx).(0xfuz解：设),,(p是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),,(p格林函数：222)()()(141),,,(zyxyxG222)()()(141zyx2/32220])()[(2yxzGnGz方程的解：dxyxyxuR22/3222])()[(),(2),(五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)),,()(2tyxfuuauyyxxtt),,(0yxut),,(0yxutt).,,(tyxgu其中,),(,0yxt为的边界.解:设21,uu都是方程的解设21uuu代入方程得：0)(2yyxxttuuau00tu00ttu.0u设[21)(tEdxdyuuauyxt](2222dttdE)([2dxdyuuuuauuytyxtxttt)](2[2dxdyuuauuyyxxttt)]([20(10’)0)0()(EtE，Cu，由边值条件得：0u。(20’)六考察边值问题nixifuxcuxbui1)()(.0nu试证)(xc当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分)证明：在原方程两边同乘以u然后在上积分：uunixidxfudxuxcuuxbi12)()(由格林公式dxuudsnudxDu2dxDu2由Young不等式dxuunixi1dxunixi212dxun22又dxudxffudx222121故得估计：dxfCdxuunixi2221)((10’)设21,uu都是方程的解设21uuu代入方程并由估计式得：0u唯一性得证21uu21ff，稳定性得证。