经济高数课件2-1

第二章导数与微分第一节导数概念一、引例二、导数的定义三、求导数举例四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系一、引例1.变速直线运动的瞬时速度直接运用极限的方法就能得到tstttststttvlimlim0005)()(0)/(2535)5(330limsmttt解tStlim0就定义为该时刻瞬时速度的大小,它反映了运动速度的大小,就是路程相对时间变化的快慢(变化率)..53.13秒末的瞬时速度，求汽车第路程的关系为的最初一段时间与汽车起动后做直线运动例ts2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置T0xxoxy)(xfyCNM如图,让点N沿曲线C趋于M时，割线MN的极限位置MT，就称为曲线C在M点的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxxxyxlim0比较两个公式xxfxxfxyKttfttftsvxxttt)()()()(00000000limlimlimlim相同点:数学问题相同变化率问题数学结构相同函数改变量与自变量改变量之比的极限就定义为曲线上任意一点切线斜率的大小,它反映了该切线斜率就是函数值改变量对自变量改变量的变化率.,,)(,)(,0)()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点函数并称这个极限为处可导在点函数则称时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义二、导数的定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000,)(00xxxxdxxdfdxdy或即.,.10的快慢程度而变化因变量随自变量的变化它反映了变化率处的变量在点函数在一点的导数是因x.)(,)(.2内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy关于导数的说明：.)(),(,.)(.)(,.3dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作函数的导这个函数叫做原来函数定的导数值的一个确都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或注意:.)()(00xxxfxf（2）右导数单侧导数（1）左导数;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx结论：上可导在都存在，就说与内可导，且在区间如果],[)()()()()(.4baxfbfafa,bxf.)()()(000都存在且相等导数和右左导数处可导在点函数xfxfxxf步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限.)()(1的导数为常数求函数例CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即三、求导数举例.)(sin)(sin,sin)(24xxxxxf及求设函数例解hxhxhsin)sin(lim022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即44cos)(sinxxxx.22hxfhxfxfh)()(lim)(0.)()(3处的导数在为正整数求函数例axnxxfn解axafxfafax)()(lim)(][lim121nnnaxaaxx1nna.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(1x11)1(x.12xaxaxnnaxlim.)1,0()(4的导数求函数例aaaxfx解haaxhxh0limhaahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxeehxfhxfxfh)()(lim)(0.)1,0(log)(5的导数求函数例aaxxfa.ln1)(logaxxa即.1)(lnxx.0)(6处的可导性在讨论函数例xxxf解xyxyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy四、导数的几何意义oxy)(xfyTM0x.,)2,21(17方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线例xy解由导数的几何意义,得切线斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即定理可导函数都是连续函数.证明,)(0可导在点设函数xxf),(lim00xfxyx)(0xfxy.)(0xxxfy])([limlim000xxxfyxx.0.)(0连续在点函数xxf),0(0x五、可导与连续的关系连续函数不存在导数举例xy2xy0xy例如,,0,0,)(2xxxxxf.0处不可导在x注意:该定理的逆定理不成立.★又如,,)(3xxf.0)(处不可导在xxf0)0()(lim0xfxfx，处连续在点0)(xxf,xxx0lim303xyxyo.0,0,00,1sin)(8处的连续性与可导性在讨论函数例xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx.0)(处连续在xxf处有但在0xxxxxy001sin)0(x1sin.11,0之间振荡而极限不存在和在时当xyx.0)(处不可导在xxf0)(lim)0(0xffx（参考）2000,(),?,?.,xxxfxxxabaxbxx例9设函数在处可导,解0(),fxx在连续00002200lim()lim(),limlim();.xxxxxxxxfxfxxaxbbxax000000002220000()()()()limlim()limlimxxxxxxxxfxfxfxfxxxxxaxbxxxxxxx200bxax以代入有200,2.bxax//000(),()();fxxfxfx又在可导（参考）