【走向高考】2014高考一轮复习课件：4-8正弦定理、余弦定理的应用举例 51解析

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考一轮总复习第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形第四章三角函数、三角恒等变形、解三角形走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第四章第八节正弦定理、余弦定理的应用举例第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学高考目标课前自主预习思想方法点拨4课堂典例讲练3课后强化作业5第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学高考目标第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学考纲解读能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学考向预测1．对解决实际问题的能力及测量问题的考查是高考的重点．2．在选择、填空、解答中都可能考查，属中档题．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学课前自主预习第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学知识梳理1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__________叫仰角，目标视线在水平视线_________叫俯角(如图①)．上方的角下方的角第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学2．方位角指从_____方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)正北第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学①北偏东α°：指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学4．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比).第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学1.若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的()A．西偏北30°B．西偏北60°C．南偏东30°D．东偏南30°基础自测[答案]C第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]如图可知B在A的南偏东30°.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学2．(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝()A．10°B．50°C．120°D．130°[答案]D第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]如图，由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学3．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ[答案]D第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学4．(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°[答案]C第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]如图，∵∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理ADsin160°＝ABsin10°，∴AD＝AB·sin160°sin10°＝sin20°sin10°＝2cos10°.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学5．如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD＝80m，BE＝40m(A、D、E、B在一条直线上)，则隧道DE的长是______m.[答案]2007－120第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4002＋6002－2×400×600×cos60°＝280000，∴AB＝2007，∴DE＝2007－120(m)．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50s，升旗手应以多少m/s的速度匀速升旗？第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝106(m)，由正弦定理，得BC＝CDsin45°sin30°＝203(m)；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝203×32＝30(m)．所以升旗速度v＝ABt＝3050＝0.6(m/s)．答：升旗手应以0.6m/s的速度匀速升旗．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学课堂典例讲练第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[例1]如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．测量距离问题第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[分析]计算∠ADC→AC＝DC→AB＝BD→在△ABC中计算AB→求得BD第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，所以AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620.同理，BD＝32＋620≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33km.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[点评]求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫作基线，如例题中的CD)．(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并且测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3，在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋(6＋22)2－2·3·6＋22cos75°＝5，∴AB＝5，答：A、B之间的距离为5km.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[例2]某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．测量高度问题第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[分析]依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40m，此时∠DBF＝45°，从C到D所测塔的仰角最大的，只有B到CD最短时，仰角才最大，这时因为tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，须先求BD(或BC)．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学∴BE＝BDsin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝103(3－3)(m)．故所求的塔高为103(3－3)m.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[点评](1)处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．提醒：高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2012·南京模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.[答案]156第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]由已知可得∠DBC＝135°，在△DBC中，由正弦定理可得BCsin30°＝CDsin135°，BC＝CDsin30°sin135°＝30×sin30°sin135°＝152，∴AB＝BCtan60°＝152×3＝156.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[例3]沿一条小路前进，从A到B，方位角(从正北方向顺时针转到AB方向所成的角)是50°，距离是3km，从B到C，方位角是110°，距离是3km，从C到D，方位角是140°，距离是(9＋33)km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号)．测量角度问题第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[分析]画出示意图，要求A到D的方位角，需要构造三角形，连接AC，在△ABC中，可知∠BAC＝30°，用余弦定理求出AC，再在△ACD中，求出AD和∠CAD.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]如图，连接AC，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－110°)＝120°，又AB＝BC＝3，∴∠BAC＝∠BCA＝30°.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝9＋9－2×3×3×－12＝27＝33(km)．在△ACD中，∠ACD＝360°－140°－(70°＋30°)＝120°，CD＝33＋9.由余弦定理得AD＝AC2＋CD2－2AC·CDcos120°＝27＋33＋92－2×33×33＋9×－12＝92＋962(km)．第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学由正弦定理得sin∠CAD＝CD·sin∠ACDAD＝33＋9×3292＋962＝22.∴∠CAD＝45°，于是AD的方位角为50°＋30°＋45°＝125°，所以，从A到D的方位角是125°，距离为92＋962km.第四章第八节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[点评]首先要理解题意，分清