【走向高考】2014高考一轮复习课件：5-3平面向量的数量积 81

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考一轮总复习第五章平面向量走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第五章平面向量第五章平面向量走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学第五章第三节平面向量的数量积第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学高考目标课前自主预习思想方法点拨4课堂典例讲练3课后强化作业5第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学高考目标第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学考纲解读1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标公式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学考向预测1．平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题．2．数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规题目，也是考查重点．关注数形结合思想的应用．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学课前自主预习第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学知识梳理1．两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．非零第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2)范围向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.0π90°a⊥b第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学2．平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫作a与b的数量积(或内积)，记作.规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.|a|·|b|cosθa·b＝|a||b|·cosθ0a·b＝0a·b＝±|a||b|第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2)向量的投影定义：设θ为a与b的夹角，则(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．(3)平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影的乘积．|a|cosθ|b|cosθ第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝(e为单位向量)；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔；(3)当a与b同向时，a·b＝，当a与b反向时，a·b＝，a·a＝a2，|a|＝；(4)cosθ＝；(5)|a·b||a||b|.|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b|a·aa·b|a||b|≤第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝.b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝.x1x2＋y1y2x2＋y2x2＋y2x1－x22＋y1－y22第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.(4)向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝x1x2＋y1y2＝0x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学1.已知下列各式：①a2＝|a|2②a·ba2＝ba③(a·b)2＝a2·b2④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有________个．()A．1B．2C．3D．4基础自测[答案]B第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]①正确．∵a·ba2＝|a||b|cosθ|a|2＝|b|cosθ|a|，∴②错．③中(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2θ不一定与a2·b2相等，∴③错．④正确．故选B.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学2．(文)(2012·陕西文，7)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－1[答案]C第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]本题考查了平面向量的垂直关系及余弦的二倍角公式．由a⊥b得，－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0，向量的共线与垂直是两向量位置关系中最重要的，一定区分开它们的异同．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(理)(2012·重庆理，6)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10[答案]B第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]由a⊥c得x＝2，①由b∥c得2y＝－4②，所以x＝2y＝－2所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(2,1)＋(1，－2)＝(3，－1)．∴|a＋b|＝10，故选B.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学3．设向量a＝(1,0)，b＝(12，12)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b[答案]C第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]a－b＝(12，－12)，∴(a－b)·b＝(12，－12)·(12，12)＝0.即a－b与b垂直，故选C.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学4．(2011·湖北文，2)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4[答案]C第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]本题考查了向量的坐标运算．∵a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos2a＋b，a－b＝3×0＋932·3＝22，∴a＋b，a－b＝π4.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学5．(2012·新课标理，13)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.[答案]32第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]本题考查了平面向量数量积的性质，向量模的求解方法．|2a－b|＝10⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－4|b|cos45°＝10⇔|b|＝32.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学6．如图，在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→＝________.[答案]3第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]AD→＝12(AC→＋BD→)＝(－1,2)，∴AD→·AC→＝－1＋4＝3.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学7．已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]∵设a与b的夹角为θ，则θ∈0，π2，∴a·b0且a，b不同向．由a·b0，得|i|2－2λ|j|20解得λ12.当a，b同向时，由a＝kb(k0)，得λ＝－2.∴λ的取值范围为λ12且λ≠－2.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学课堂典例讲练第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[例1](1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB→·BC→，|CD→|；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.平面向量数量积的运算第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[分析]利用向量数量积的定义，运算律及模的求法求解，特别要注意两向量夹角的定义．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析](1)如图，向量AB→，BC→的夹角为120°，∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos120°＝5×5×(－12)＝－252.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学∵CD→＝12(CA→＋CB→)，∴|CD→|2＝14(CA→＋CB→)2＝14(|CA|→2＋2CA→·CB→＋|CB→|2)＝14×(25＋2×5×5×cos60°＋25)＝754，∴|CD→|＝532.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(2)a－2b＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)，2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，∴(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝－12＋30＝18.∵a＋2b＝(3，－4)＋2(2,1)＝(7，－2)，∴|a＋2b|＝72＋－22＝53.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[点评]1.向量的数量积是向量与向量之间的一种运算，但运算结果却是一个数量．2．两个向量的夹角必须是起点相同时，所得几何图形的角，对于首尾相接时，应是几何图形内角的补角，如本例中AB→与BC→夹角是∠B的补角，而不是∠B，这点应特别注意，否则会出现错误．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学3．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．4．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学已知等边三角形ABC的边长为1，求：第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(1)AB→·AC→＋AB→·BC→＋AC→·BC→；(2)|AB→－2AC→|；(3)(2AB→－AC→)·(3AB→＋2BC→)．第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析](1)AB→·AC→＋AB→·BC→＋AC→·BC→＝|AB→||AC→|·cosA＋|AB→||BC→|·cos(180°－B)＋|AC→||BC→|·cosC＝cos60°＋cos120°＋cos60°＝12－12＋12＝12.(2)|AB→－2AC→|＝|AB―→－2AC―→|2＝AB―→2－4AB―→·AC―→＋4AC―→2＝1－4×1×1×cos60°＋4＝1－2＋4＝3.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学(3)(2AB→－AC→)·(3AB→＋2BC→)＝6AB→2＋4AB→·BC→－3AB→·AC→－2AC→·BC→＝6＋4×cos120°－3×cos60°－2×cos60°＝6－2－32－1＝32.第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[例2]已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|a＋b|，|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?[分析](1)利用公式|a|＝a2和|a＋b|＝a＋b2求解；(2)利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求k.模与垂直问题第五章第三节走向高考·高考一轮总复习·北师大版·数学[解析]由已知，a·b＝4×8×－12＝－16.(1)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝43.∵|4a－2b|2＝16a2－16