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机器人学战强北京航空航天大学机器人研究所第五章、机器人动力学机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。机器人动力学的用途：机器人的最优控制；优化性能指标和动态性能、调整伺服增益；设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩；机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真。动力学方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、Screw、Roberson-Wittenburg。机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的动力学系统，存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。¾动力学的原问题：给定力/力矩，求解机器人的运动；是非线性的微分方程组，求解困难。¾动力学的逆问题：已知机器人的运动，计算相应的力/力矩，即实现预定运动所需施加的力矩；不求解非线性方程组，求解简单。5.1Lagrange动力学方法Lagrange法：能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构。Lagrange函数L定义：任何机械系统的动能和势能之差kEpEpkEEL−=动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示，不局限于笛卡儿坐标假设机器人的广义坐标为则该机械系统的动力学方程为：iiiqLqLdtdf∂∂−∂∂=•niqi,,2,1,L=（5-1）iiiqLqLdtdf∂∂−∂∂=•广义速度广义力是力矩是角度坐标，是力；是直线坐标，⎭⎬⎫iiiifqfq动力学方程也可写成：，，不显含由于势能LagrangeniqEip,,1L=•)()(ipipikikiqEqEdtdqEqEdtdf∂∂−∂∂−∂∂−∂∂=••pkEEL−=将代入到（5-1）式中：ipikikiqEqEqEdtdf∂∂+∂∂−∂∂=•（5-2）例：图示R-P机器人，求其动力学方程。1、质心的位置和速度为了写出连杆1和连杆2（质量和）的动能和势能，需要知道它们的质心在共同的笛卡儿坐标系中的位置和速度。1m2m1m质心的位置是Crryrx∈⎩⎨⎧θ=θ=11111sincosrθXY2m1m1r速度是⎪⎩⎪⎨⎧θθ=θθ−=••••cossin1111ryrx221222111•••θ=+=ryxv速度的模方是笛卡儿Cartesian(Latin)[ka:’ti:zjən]Descartes[dei’ka:t]:法国哲学家、数学家、物理学家，1596-1650，将笛卡尔坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。质心的位置是Crryrx∉⎩⎨⎧θ=θ=sincos22⎪⎩⎪⎨⎧θθ+θ=θθ−θ=••••••cossinsincos22rryrrx2m速度是速度的模方是222222222••••θ+=+=rryxv2、机器人的动能和势能221mvEvmk=的质点的动能定义为，速度为质量为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧θ+==θ==•••][21212121,21222222222211211121rrmvmErmvmEmmkk为的动能质量的动能和连杆22222221121212121•••θ++θ=+=rmrmrmEEEkkk机器人的总动能为mghEhmp=的质点的势能定义为，高度为质量为⎩⎨⎧θ=θ=sinsin2122111grmEgrmEpp的势能为和连杆θ+θ=+=sinsin21121grmgrmEEEppp机器人的总势能为3、机器人的动力学方程根据式5-2，分别计算关节1和关节2上的力/力矩())(cos2coscos0211222211211222111111rmrmgrrmrmrmrmgrmgrmrmdtdqEqEqEdtdfpkk+θ+θ+θ+θ=θ+θ+−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛θ+θ=∂∂+∂∂−∂∂=•••••••••θ+θ=sinsin211grmgrmEp机器人的总势能为222222211212121•••θ++θ=rmrmrmEk机器人的总动能为关节1上的作用力关节2上的作用力θ+θ−=••sin22222gmrmrmf)(cos2)(121122221111rmrmgrrmrmrmf+θ+θ+θ+=τ••••是转矩，即是转动关节，所以关节是作用力是移动关节，所以关节22f该R-P机器人的动力学方程为：)(cos22112222111rmrmgrrmrmrmf+θ+θ+θ+θ=••••••θ+θ−=••sin22222gmrmrmf该方程表示关节上的作用力与各连杆运动之间的关系加速度部分速度部分位置部分4、Lagrange动力学方程的一般形式θ+θ−=••sin22222gmrmrmf)(cos22112222111rmrmgrrmrmrmf+θ−θ+θ+θ=••••••2221212222222112221211211122122211112111DrDrDrDDrDDfDrDrDrDDrDDf+θ+θ++θ++θ=+θ+θ++θ++θ=••••••••••••••••••••上的重力作用在关节上的哥氏力是作用在关节上产生的向心力的速度在关节关节上的作用力矩的加速度在关节是关节的耦合惯量；对关节上产生的作用力矩的加速度在关节是关节的有效惯量；关节iDiqqDqqDijqDijqDijjiDiiqDiDiikjijkjijjijijiiii:,::)(:jkkj2ji⋅⋅⋅⋅•⋅⋅⋅⋅≠上的重力作用在关节上的哥氏力是作用在关节上产生的向心力的速度在关节关节上的作用力矩的加速度在关节是关节的耦合惯量；对关节上产生的作用力矩的加速度在关节是关节的有效惯量；关节iDiqqDqqDijqDijqDijjiDiiqDiDiikjijkjijjijijiiii:,::)(:jkkj2ji⋅⋅⋅⋅•⋅⋅⋅⋅≠2221212222222112221211211122122211112111DrDrDrDDrDDfDrDrDrDDrDDf+θ+θ++θ++θ=+θ+θ++θ++θ=••••••••••••••••••••惯性力项向心力项哥式力项重力项对照可得：θ====−===+θ======+=sin;0;0;0;;;0)(cos;;;0;0;0;22221212222221122221211121212112122111122221111gmDDDDrmDmDDrmrmgDrmDrmDDDDrmrmDθ+θ−=••sin22222gmrmrmf)(cos22112222111rmrmgrrmrmrmf+θ−θ+θ+θ=••••••2221111222rmrmDmD+==有效惯性对于移动关节是质量，对于转动关节是惯性矩机器人的有效惯性量和耦合惯性量，随机器人的形态变化而变化，跟负载、机器人是自由状态/锁死状态有关，变换范围大，对机器人的控制影响巨大。对于一个机器人的控制而言，需要计算出各个有效惯量、耦合惯量与机器人位置形态之间的关系。）（垂直和水平两种状态度启动止，但以最大径向加速）手臂伸在最外端，静动到水平位置；最大速度从垂直位置运）手臂伸在最外端，以态下；垂直和水平位置静止状）手臂伸在最外端，在的驱动力：种情况下的关节计算最大加速度最大速度负载变化范围：32113/1,/1,/1,/1,5~1,2~1:,1,102211smrsradsmrsradkgmrmrkgm==θ==θ==•••••假设R-P机器人的实际参数为：rθXY2m1m1r例:22111112211211121112222121111/226kg~3030cos1963/216kg~2020cos19620/90kg/196kg0cos9.8*20cos)(1smDDsmrDrDDsmsmgrmrmD=τ+θ=θ+=τ=τ+θ=θ+θ+=τ=τ=θ=τ=θθ=θ+==τ••••••）情况与重力比，影响较小说明哥氏力有影响，但）情况，垂直时；，水平）情况重力负载变化极大，在垂直状态是零，在水平时是最大（196）对机器人控制影响很大，在实际中可采用平衡的方法或前馈补偿的方法。XYLagrange动力学方法的基本步骤：1、计算各连杆的质心的位置和速度；2、计算机器人的总动能；3、计算机器人的总势能；4、构造Lagrange函数L；5、推导动力学方程。iiiqLqLdtdf∂∂−∂∂=•ipikikiqEqEqEdtdf∂∂+∂∂−∂∂=•5.2惯性矩阵、惯性积和惯性张量在R-P机器人的例子中假设各连杆的质量集中在一点，实际上各连杆的质量是均匀分布的，对于这种情况存在几个特殊的公式。XYZlwhdVdmdmxydVxyIdmzxdVzxIdmzydVzyImVzzmVyymVxxρ=+=ρ+=+=ρ+=+=ρ+=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫)()()()()()(222222222222{A}dmzxdVzxIdmyzdVyzIdmxydVxyImVzxmVyzmVxy∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=ρ==ρ==ρ=1、图示均质刚体，饶X、Y、Z轴的惯性矩阵定义为：2、惯性积（混合矩）定义为：3、对于给定的坐标系{A}，惯性张量定义为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=zzyzxzyzyyxyxzxyxxAIIIIIIIIII惯性张量跟坐标系的选取有关，如果选取的坐标系使各惯性积为零，则此坐标系下的惯性张量是对角型的，此坐标系的各轴叫惯性主轴，质量矩叫主惯性矩。相对于某一坐标系的质量分布的二阶矩阵刚体质量和分布的一阶矩阵定义为：dmzdVzzmdmydVyymdmxdVxxmdVmmVmVmVV∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=ρ==ρ==ρ=ρ=4、伪惯性矩阵定义为[],11222TVTVzyxrdmzyxzzyzxzyyzyxyxxzxyxdmrrJ=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==∫∫∫∫∫∫质量分布的一阶矩和二阶矩的向量组成伪惯性矩阵与惯性丈量之间的关系为：zzyyxxoozzyzxzyzoyyxyxzxyoxxIIIImzmymxmzmIIIIymIIIIxmIIIIJ++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−+−+−=2/2/2/相对于原点的惯性矩伪惯性矩阵与选取的坐标系有关，如果选取的坐标系的原点在刚体的质心，且选取坐标轴的方向,则此坐标系称为刚体的主坐标系,伪惯性矩阵为对角型的.例：如图示坐标系，求密度为的均匀长方体的惯性张量和伪惯性矩阵。XYZlwh{A}ρ解：长方体的质量为质心坐标为惯性矩为lwhmρ=2,2,2hzlywx===)(3)(000)(3)(000)(3)(000222222222222wlmdxdydzxywlhIhwmdxdydzzxwlhIhlmdxdydzzywlhIzzyyxx+=ρ+=+=ρ+=+=ρ+=∫∫∫∫∫∫∫∫∫惯性张量为惯性积为hwmdxdydzzxwlhIlhmdxdydzyzwlhIwlmdxdydzxywlhIzxyzxy400040004000=ρ==ρ==ρ=∫∫∫∫∫∫∫∫∫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−+−−−+=)(3444)(3444)(3222222wlmlhmhwmlhmhwmwlmhwmwlmhlmI)(31)(212222hlwmIIIIzzyyxxo++=++=伪惯性矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mhmlmwmhmhmlhmhwmlmlhmlmwlmwmhwmwlmwmJ222234424342443222惯性张量和伪惯性矩阵代表刚体质量分布相对于某一坐标系的二阶矩和一阶矩，具有下列特点：1）所有惯性矩恒为正，惯性积可正可负；2）当坐标系方位改变时，不变；3）惯性张量的特征值和特征矢量分别为刚体相应的主惯性矩和惯性主轴。5.3Newton-Euler动力学方法达朗贝尔原理：对于任何物体，外加力和运动阻力（惯性力）在任何方向上的代数和为零。将静力平衡条件用于动力学问题。1）、牛顿第二定律（力平衡方程）：连杆i的质量连杆i质心的线速度作用在连杆i上的外力合矢量1、达朗贝尔原理一个刚体的运动可分解为固定在刚体上的任意一点的移动以及该刚体绕这一点的转动两部分,因此达朗贝尔原理可表示成两部分:•==ciiciicivmdtvmdf/)(作