湘教版八年级数学下册-角平分线的性质(2) [自动保存]

第1章直角三角形1.4角平分线的性质湘教版八年级数学下册判定两个三角形全等的方法：直角三角形全等的判定一般三角形全等的判定“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”灵活运用各种方法证明直角三角形全等应用“SSS”斜边、直角边公理(HL)ABCA′B′C′∴在Rt△ABC和Rt△中AB=BC=∴Rt△ABC≌CBABACB(HL)C′B′A′Rt△∵∠C=∠C′=90°有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.聪明题：1.如图，正方形ABCD中，AE=BF.求证：AE⊥BF.ABEPCFD2.已知：如图，AB⊥CD于O，AD=BC，DO=BO.（1）求证：∠ADB=∠CBD；（2）若AD=2AO，求∠DBC和∠DAC的度数.ADBCO角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.新课导入什么叫做角平分线？探究如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？图1-26∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.我们来证明这个结论.图1-26图1-26结论角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线的性质定理：P到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：不必再证全等ODEPACB反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？P推进新课已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上PC证明:经过点P作射线OC∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO＝∠PEO＝90°在Rt△PDO和Rt△PEO中PO＝POPD=PE∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠POD＝∠POE∴点P在∠AOB的平分线上PC角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．∴OP平分∠AOB．用数学语言表示为：角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定例1如图1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线.图1-28证明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.图1-28（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；图1-28证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.练习1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D.求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，∵OE=OE，ED=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.证明（1）∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥AO，ED⊥OB，∴ED=EC.∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC是个等腰三角形.2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.M证明作CM⊥AB于点M.∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，∴CD=CM，CE=CM.在Rt△ACD和Rt△ACM中，∵CM=CD，AC=AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACM.∴AD=AM.同理，BE=BM.又AB=AM+BM，∴AB=AD+BE.思考：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求。∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等DPMNABCFE想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，GHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG=FM.又∵点F在∠CBD平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC.∴FM=FH.∴FG=FH，∴点F在∠DAE的平分线上.1.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．当堂训练2.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.l1l3l2P1P2P3P4l1l2l3ABCEFD3.如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。1、角平分线的判定：2、三角形角平分线的交点性质：三角形的三条角平分线交于一点。3、角的平分线的辅助线作法：见角平分线就作两边垂线段。课堂小结课后作业1.从教材习题中选取2.完成练习册本课时的习题