泰勒展开式与洛朗展开式

泰勒级数泰勒(Taylor)级数洛朗级数洛朗(Laurent)级数张红英张红英1.问题的引入§4.3泰勒(Taylor)级数2.泰勒级数展开定理3.简单初等函数的泰勒展开式4.小结一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。1.问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？DKz.内任意点,)(内解析在区域设函数Dzf如图:r0z.K.rz0圆周0:Kzr幂级数性质回顾：定理（泰勒级数展开定理）000(),,,fzDzDRzDzzR设在区域内解析为到的边界上各点的最短距离，则当时级数的处在Taylorzzf0)(2.泰勒(Taylor)级数展开定理00()0()()(1)1:()0,1,2,!nnnnnfzczzcfznn其中Dk0z()010011()()!2:nnnkfcfzdnizkzr代入(1)分析：()00000()()()!nnnnnnfzczzzzn01001()()2()nnknfdzziz01001()()(I)2()nnknfzzdizDk0z0100()()()(*)()nnnffzzzz需证1()()(II)2kffzdiz又z000001111,()1zzzzzzzz001,zzqz联合(I),(II)20000000111()()(2)nzzzzzzzzzzz0000()()()()nnnzzffzzz故(*)式0100()()()nnnfzzz证明：00:,{},,:kzrzrDzkCauchy设为内任一点由积分公式001,zzqz000001111()1zzzzzzzz0100()(3)()nnnzzz1()()2kffzdiz0020010()00001()1()()22()2()()()2()()()'()()!kkknnknnfffzddizizzzfdizzzfdizfzfzfzzzn#0()fzzTalor函数在处的级数00().fzzTaylorzD在解析点处的级数收敛半径至少等于从到的边界上各点的最短距离000()RzfzzRz为从到的距最近的一个奇点之间的距离，即该奇点在收敛圆周上。(1)注：(2)展开式的唯一性1010021)(')()(2)('azfzznazzaazfnnnnzzazzazzaazf)()()()(0202010分析：设f(z)用另外的方法展开为幂级数:幂级数逐项求导()01()0,1,2,!nnafznn直接法••间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：00())())fzzDfzzD在点(区域解析在(3的邻域(区域内可以展开成)幂级数。()0023()1(0,1,2,)12!3!!.znzzznzzeenzzzezneR在复平面上解析该级数的收敛半径3.简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展开式的在求Talorzzzezfz例1解：直接法001()()sin22!!zizinnnneeziziziinn242cos(sin)'1(1)2!4!(2)!nnzzzzzn又sin,coszzR故在全平面上解析，它们的半径21211211112(1)2(21)!!(21)!!kkkkkkizzikk间接法例2把下列函数展开成z的幂级数:211(1)()(2)()(3)()ln(1)1(1)fzfzfzzzz解：21(1)111nzzzzz111(1)111()nnzzzzz(2)由幂级数逐项求导性质得：212211111(1)(1)1123(1)1nnnnddzzzzdzzdzzznzz(3)10(1):zzzcc在收敛圆内任意取一条从的曲线，沿逐项积分得2131ln(1)(1)1231nnzzzzzzn0000(1)1zzzznndzdzzdzzdzz注:通过奇点判断收敛范围。0(1)()fzz在点的某一邻域内可导。4.小结：F(z)在z0点解析0(2)()fzzCR的实部和虚部在点的某一邻域内有连续偏导数且满足方程。0(4)()fzz在点的某一邻域内可展成幂级数。0(3)()0fzz在点的某一邻域内连续且沿邻域内的任一条正向封闭路线的积分为。1.引入§4.4罗朗(Laurent)级数2.双边幂级数3.Laurent级数展开定理4.函数的Laurent级数展开式5小结回顾：f(z)在z0解析思考：若f(z)在z0点不解析，但在圆环域:R1z-z0R2内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？1.引入f(z)在z0的某一个圆域z-z0R内展开成z-z0的幂级数。例：1()0,1(1):01011fzzzzzzz在都不解析，但在圆环域及内处处解析。1211znzzzz01,111()(1)1zfzzzzz当时011,111()(1)11(1)zfzzzzz当时nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若f(z)在R1z-z0R2内解析,f(z)可以展开成含有负幂次项的级数,即2111(1)(1)(1)111(1)(1)1nnzzzzzzz11z本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数的基础。2.双边幂级数---含有负幂项的级数定义形如)1()()()()()(001010100nnnnnnnzzczzcczzczzczzc　　　　　　---双边幂级数都是常数及其中),2,1,0(0nczn负幂项部分正幂项(包括常数项)部分是一幂级数，设收敛半径为R2，收敛域：z-z0=R2。01zz令1nnncRR设收敛半径为，收敛域：。011()nnnnnnczzc0011()nnnczzzzR收敛域：收敛。00()nnnczz收敛域：z0R1R2有公共收敛域21RRz0R2R1无公共收敛域21RR121020()nnnRRRzzRczz当且仅当时，两个级数有公共收敛区域即圆环域：，称收敛。.)()4(2010以逐项求积和逐项求导和函数是解析的而且可内的在级数RzzRzzcnnn注：02100)3(zzRR：，，收敛域为此时可以可以。，发散处处称时当nnnzzcRR)()1(021(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,nnnzzc。点收敛，有些点发散可能有些)(03.洛朗级数展开定理定理1020100():,()()(5)1():(0,1,2,)(5')2().nnnnncfzDRzzRfzczzfzcdznizzcDz设在内解析则其中系数是内绕的任何一条简单闭曲线级数内的在称为LaurentRzzRDzf201:)(展开式内的在称为LaurentRzzRDzf201:)(.)(,!)(,,0)1(0)(解析的内不是处处在相同形式上与高阶导数公式系数时当czfnzfccnnnn但(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的去心邻域内解析，需要把f(z)展成洛朗（Laurent）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。(3)展开式的唯一性一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。分析：)6()()(:)(0201nnnzzazfRzzRDzf可表示为内解析，在设nnnzaf)()(0Dz0R1R2cczDc的简单闭曲线，内任何一条绕为设0101(),()PPzc为任一整数并沿的正向积分得：Dz0R1R2cdzfiaiadzadzfcpppncnpncp101010)()(212)(1)()(解得：.,级数就是展开成级数在圆环域内解析的函数由此可知Laurentnnnzaf)()(0由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要用间接法。例1解210sin1(1)(21)!nnnzzzzn0z3524113!5!3!5!zzzzzz　sin0zzz求在＋展开成洛朗级数。4函数的Laurent级数展开式2333011(1)!2!!znnnezzzzzznzn例2解例3解21112!!tnetttn在复平面上，121111,12!!zntezzznz令)0(z3211112!3!4!!nzzzzzn　30zezLaurentz　将在＋内展开成级数。10zezLaurent　将在内展成级数。例4xyo1221)(ziixyo12ziii2)(xyo1210)zi（01()(1)(2))01;()12;()20fzzziziiziiizzLaurent将在以下圆环域（内展开成点的级数。解:11()12fzzz111()1212fzzz故()0112ziz2101371(1)2482nnnzzz221(1)(1)224nzzzzz无奇点111111()1122112fzzzzzz212zz又1()121iizz221101111(1)(1)22412nnnnnzzzzzzz2()21iiizz111111()121211fzzzzzzz1221nnnz2223411112411137zzzzzzzzz注意首项解(1)在(最大的)去心邻域例5yxo121()(1)(2)1,2fzzzzzLaurent将在以点的去心邻域内展开成级数。021(1)111(1)(2)1nnzzzzz011z(2)在(最大的)去心邻域021zxo121111()1221(2)fzzzzz021(1)(2)211(2)(2)2nnnzzzzz2225()(2)(1)(1)12(2)025zzfzzzzz将在以下区域－；内展开成幂级数。练习：(2)同一个函数有不同的级数展式，这是因为在不