2.1 曲线与方程

2.1曲线与方程平面解析几何思考回顾：我们学过哪些曲线方程？举例说明。2221xyyx抛物线：圆：[导入新知]曲线的方程、方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是，②以这个方程的解为坐标的点都是___________，那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．这个方程的解曲线上的点曲线的方程与方程的曲线的概念[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限内两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．书本例1证明到坐标轴的距离之积为常数k(k0)的点的轨迹方程为xy=±k曲线与方程的关系[例2]下列方程分别表示什么曲线？(1)(x＋y－1)x－1＝0；(2)4x2－y2＋6x－3y＝0.[解](1)由方程(x＋y－1)x－1＝0，可得x－1≥0，x＋y－1＝0或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1.(2)方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.故原方程表示的是两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.[类题通法]判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．[活学活用]已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点Mm2，－m在此方程表示的曲线上，求m的值．求曲线的方程[例3]过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．[解]法一设点M的坐标为(x，y)．∵M为线段AB的中点，∴A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)．∵l1，l2均过点P(2,4)，且l1⊥l2，∴PA⊥PB，当x≠1时，kPA·kPB＝－1.而kPA＝4－02－2x＝21－x，kPB＝4－2y2－0＝2－y1，∴21－x·2－y1＝－1，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．当x＝1时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0，综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.法二设M的坐标为(x，y)，则A，B两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM|＝x－22＋y－42，|AB|＝2x2＋2y2，∴2x－22＋y－42＝4x2＋4y2.化简，得x＋2y－5＝0，即所求轨迹方程．[类题通法]直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视．[活学活用]已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．解：法一(直接法)如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋y－322＝94(去掉原点)．法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上．故Q点的轨迹方程为x2＋y－322＝94(去掉原点)．法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意得x＝x12，y＝y12，即x1＝2x，y1＝2y.又因为x21＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋4y－322＝9，即x2＋y－322＝94(去掉原点)．2.求轨迹方程[典例](12分)在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．[解题流程][规范解答]取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，(3分)则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(x＋a2＋y2)2＋(x－a2＋y2)2＝4a2，整理，得x2＋y2＝a2.(8分)[规范解答][名师批注]因为当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a，(11分)所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．(12分)解题时易漏掉x≠±a，忽略C点与A，B重合的情形.注意区分“轨迹方程”和“轨迹”的不同，“轨迹方程”是坐标关系式，是一个方程，而“轨迹”是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹除了写出方程，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．[活学活用]已知线段AB在直线y＝－2上移动，|AB|＝4，O为坐标原点．求△AOB的外心M的轨迹方程．解：∵A，B在直线y＝－2上，且|AB|＝4，故设A(x1，－2)，B(x1＋4，－2)，∴直线OA的垂直平分线为y＝x12x－x12－1，直线AB的垂直平分线为x＝x1＋2.联立y＝x12x－x12－1，x＝x1＋2，消去x1，得x2＝4(y＋2)．故M的轨迹方程为x2＝4(y＋2).[随堂即时演练]1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．答案：C2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得x＋22＋y2＝2x－12＋y2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，其面积是22·π＝4π.答案：B3．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________.解析：将P(2，－3)代入曲线方程得4－9k＝1，∴k＝13.答案：134．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是________________．解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝25．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．解：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x＝8的距离为|x－8|，到点A的距离为x－22＋y2.由已知，得|x－8|＝2x－22＋y2，化简得3x2＋4y2＝48.所以动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.课时达标检测见课时跟踪检测(六)