2.1 波函数的统计解释

第二章波函数和薛定谔方程§1波函数的统计解释)(expEtrpiA自由粒子描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。（一）波函数deBroglie波•3个问题？(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？),(tr如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动？量子力学第一条假设（1）波？1.波由粒子组成感光时间较短感光时间足够长最终实验结果：电子双缝衍射实验单个电子就具有波动性2.粒子由波组成什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。电子是波包实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。电子究竟是粒子？波？“电子既不是粒子也不是波”“电子既是粒子也是波”粒子和波动二重性矛盾的统一经典概念粒子1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道3.每一时刻有一定位置和速度1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念波Born解释(1926年)感光时间较短感光时间足够长最终实验结果：电子双缝衍射实验衍射波的强度分布对应于电子数的密度分布电子聚集密度的分布决定于单个电子在底板上出现概率的分布电子出现的概率分布规律表现为波强度的分布规律电子在空间出现的概率分布显示了电子运动的波动性德布罗意波或物质波（概率波ProbabilityWave）分析及讨论：底板接收的电子是一个一个的完整体粒子性表现条纹由大量电子密集与稀疏有规律交替出现形成波动性表现粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运动的性质——波粒二象性（Waveparticleduality）微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现电子双缝衍射二、波函数的物理意义衍射条纹极大值衍射条纹极小值波动观点粒子观点波的强度最大波函数振幅绝对值的平方即最大感光点的密度最大电子到达的数目多电子出现的概率大2波的强度为零波函数振幅绝对值的平方=0感光点的密度为零到达的电子数目为零电子出现的概率为零2感光强度的分布∝电子出现的概率分布感光强度的分布∝电子波函数振幅绝对值的平方结论某时刻t，在空间某点r处，粒子出现的几率正比于该时刻、该点处的波函数的模的平方。2,tr总结：衍射实验揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。2与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比波函数是什么呢？物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！物质波是什么呢？几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的单次过程。宏观物体：讨论它的位置在哪里微观粒子：研究它在某地点出现的几率有多大区别对微观粒子，讨论其运动轨道是没有意义的。波函数反映的只是微观粒子运动的统计规律。结论三、波函数的归一性：设波函数描写粒子的状态tzyx,,,在空间一点（x,y,z）处和时刻t:2波的强度是——表示Φ的共轭复数),,,(tzyxdW——在时刻t，在坐标x→x+dx、y→y+dy、z→z+dz的无限小区域内找到粒子的几率dxdydzddW2),,,(tzyxdWdtzyxCtzyxdW2),,,(),,,(C为比例常数几率密度2),,,(),,,(),,,(tzyxCdtzyxdWtzyx表示某时刻、在空间某点附近单位体积内粒子出现的几率粒子在整个空间出现的几率：1),,,(2dtzyxCdtzyxC2),,,(1),,,(tzyx),,,(tzyxC和的相对概率是相同的概率波2222211122222111),,,(),,,(),,,(),,,(tzyxCtzyxCtzyxtzyx波函数乘以一常数，其描述的概率波不变，即描写的粒子状态不变。dtzyxC2),,,(1),,,(),,,(tzyxCtzyx),,,(),,,(tzyxtzyx和描写的是粒子的同一状态dtzyxtzyxdW2),,,(),,,(2),,,(),,,(),,,(tzyxCdtzyxdWtzyx2),,,(),,,(tzyxtzyx1),,,(2dtzyxC)1(1),,,(2dtzyx满足（1）的波函数——归一化波函数)1(1),,,(2dtzyx——波函数的归一化条件),,,(),,,(tzyxtzyx把换成的步骤C——归一化常数——归一化(Normalization)dtzyxC2),,,(1若dtzyx2),,,(发散，0＝C则无意义！经典波和微观粒子几率波的区别：1、经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；2、经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍,变成另一状态；几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数,所描述的粒子的状态并不改变；例1：有一微观粒子，沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为ixAx1)(1）将此波函数归一化；2）求出粒子坐标的概率分布函数；3）求在何处找到粒子的概率密度最大？解：1）令11)(2dxxxdxx或ixAx1ixAx1112222AxarctgAxdxA1A归一化的波函数为ixx112)粒子坐标概率密度分布函数为211xxxx3）求出，在x=0处概率密度最大1)0(max0x令1)(cos2/2/22bbdxbxA即：1|),(||),(||),(|2/22/2/22/2bbbbdxtxdxtxdxtx解:(1)其中A为任意常数，E和b均为确定的常数求：(1)归一化的波函数；(2)几率密度？例2、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：)cos()exp(),(bxtiEAtx0),(tx)2/,2/(bxbx)2/2/(bxb122bAbA2(2)几率密度为：)(cos2),(),(22bxbtxtx)2/),2/(bxbx)2/2/(bxb0),(),(2txtx归一化的波函数为：)cos()exp(2),(bxtiEbtx0),(tx)2/,2/(bxbx)2/2/(bxb如图所示，在区间（b/2,b/2)以外找不到粒子。在x=0处找到粒子的几率最大。xob/2-b/22),(txtx,1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源感光屏QQOPP电子的衍射实验2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样.波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。正比于电子出现在r点附近的几率在电子衍射实验中，照相底片上结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。r点附近衍射花样的强度正比于该点附近感光点的数目正比于该点附近出现的电子数目描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。这就是首先由Born提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。衍射花纹的强度则用|Ψ(r)|2描述，但意义与经典波不同。|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的几率假设衍射波波幅用Ψ(r)描述|Ψ(r)|2的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，（三）波函数的性质（1）几率和几率密度2在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是1在t时刻，r点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：C是比例系数。dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ几率密度ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|23在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ（2）平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞,则C0,这是没有意义的。)(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函数不满足这一要求即：C∫|Ψ(r,t)|2dτ=1,常数C之值为：C=1/∫|Ψ(r,t)|2dτ（3）归一化波函数Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的C是常数.因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：221221),(),(),(),(trtrtrCtrC可见，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2倍），则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一状态归一化常数∫|(A)1/2Ψ(r,t)|2dτ=1若Ψ(r,t)没有归一化，∫|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常数），则有对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若Ψ(r,t)是归一化波函数，那末，exp{iα}Ψ(r,t)也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波。也就是说，(A)-1/2Ψ(r,t)是归一化的波函数，与Ψ(r,t)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。波函数是否等价？两种情况，得到的两个取、对是否等价？和、波函数请问：已知下列两个波函数：2)()()(,3,2,1||0||)(2sin)(,3,2,1||0||)(2sin)()2(12121nxIIxxInaxaxaxanAxnaxaxaxanAx.)24(,3,,,,)1(/26/)2(5/24/33/22/211xixixixixixieieeeee描写同一状态？些与请问下列波函数中，哪