九章算术引发考题

专题十四《九章算术》与高考数学若把“原本”比“算术”，此中翘楚是《九章》．这是对代表东方数学最高成就的巨著《九章算术》的赞誉．《九章算术》是勤劳勇敢的中华民族的智慧结晶，是中华文化和中华文明传承的经典之作，尊为古代数学群经之首．《九章算术》所创立的机械算法体系显示出比欧几里得几何学更高的水准．并将其扩展到其他领域，其算法体系至今仍推动着计算机的发展与应用．专题十四《九章算术》与高考数学为更好的传承这一举世无双的经典之魁．宏扬中华传统文化和中华文明，近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景，经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法．编制出精妙绝伦的当今数学高考试题．体现出《九章算术》与现代高考的优美结合．体现了中华古代文明与现代文明的相映．专题十四《九章算术》与高考数学《九章算术》与高考真题案例展示1．(2015·高考全国卷Ⅰ，5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()专题十四《九章算术》与高考数学A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合，对培养学生的爱国情操和认识中华古典文化有着深刻的教育意义．专题十四《九章算术》与高考数学2．(2015·高考全国卷Ⅱ，5分)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝()A．0B．2C．4D．14专题十四《九章算术》与高考数学此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损木”，它是求最大公约数的伟大创举．专题十四《九章算术》与高考数学3．(2015·高考湖北卷)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在阳马P­ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．专题十四《九章算术》与高考数学(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出．让数学教育者与高考学子为之赞叹！专题十四《九章算术》与高考数学《九章算术》与现代高考典例展示高考数学试题由《九章算术》中，典型的数学问题结合现代数学教育命制而成．然而《九章算术》中，精典的数学问题十分丰富，现以《九章算术》中部分精典的问题与现代数学相结合，编制如下的八道高考数学试题模型．专题十四《九章算术》与高考数学1．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为()A.72B.3733C.6766D.1011[选择型]C专题十四《九章算术》与高考数学[解析]设从最下节往上的容量构成等差数列{an}，公差为d.则a1＋a2＋a3＝4a9＋a8＋a7＋a6＝3，即3a1＋3d＝44a1＋26d＝3，解得a1＝9566，d＝－766.中间为第五节，即a5＝a1＋4d＝9566＋4×(－766)＝6766.故选C.专题十四《九章算术》与高考数学2.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．专题十四《九章算术》与高考数学已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5°≈513)A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸D[解析]连接OA、OB，OD，设⊙Ο的半径为R，则(R－1)2＋52＝R2，∴R＝13.sin∠AOD＝ADAO＝513.专题十四《九章算术》与高考数学∴∠AOD＝22.5°，即∠AOB＝45°.∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝45π×132360－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.专题十四《九章算术》与高考数学3．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约()A．134石B．169石C．268石D．338石B[解析]设这批米内夹谷约为x石，根据随机抽样事件的概率得x1534＝28254，得x≈169.事实上,1534约是254的6倍,则x约是28的6倍，故选B.专题十四《九章算术》与高考数学4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)C专题十四《九章算术》与高考数学[解析]a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n1·n2＋n2·n3＋…＋nn－1·nn＝n2[11·2＋12·3＋…＋1（n－1）n]＝n2[1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n]＝n2·n－1n＝n(n－1)．选C.专题十四《九章算术》与高考数学[填空型]5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为________．1.6专题十四《九章算术》与高考数学[解析]由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·(12)2x＝12.6，解得x＝1.6.专题十四《九章算术》与高考数学6．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD，芦苇根部O为AB的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直)．在牵引顶端P向水岸边中点D的过程中，当芦苇经过DF的中点E时，芦苇的顶端离水面的距离约为________尺．(注：1丈＝10尺，601≈24.5)3649尺专题十四《九章算术》与高考数学[解析]设水深为x，则x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.∴水深12尺，芦苇长13尺，以AB所在的直线为x轴，芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为13的圆，其方程为x2＋y2＝169，(－5≤x≤5，12≤y≤13)，①专题十四《九章算术》与高考数学E点的坐标为(－52，12)，∴OE所在的直线方程为y＝－245x，②由①②联解得y＝169×576601≈13×2424.5＝62449.则此时芦苇的顶端到水面的距离为62449－12＝3649.专题十四《九章算术》与高考数学[解答型]7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵ABC­A1B1C1中，AC⊥BC.专题十四《九章算术》与高考数学(1)求证：四棱锥B­A1ACC1为阳马，并判断四面体A1CBC1是否为鳖臑，若是写出各个面的直角(只写出结论)；(2)若A1A＝AB＝2，当阳马B­A1ACC1体积最大时；①求堑堵ABC­A1B1C1的体积；②求C到平面A1BC1的距离；③求二面角C­A1B­C1的余弦值．专题十四《九章算术》与高考数学[解](1)证明：由堑堵ABC­A1B1C1的性质知：四边形A1ACC1为矩形．∵A1A⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，A1A∩AC＝A.A1A，AC⊂平面A1ACC1.∴BC⊥平面A1ACC1，∴四棱锥B­A1ACC1为阳马，且四面体A1CBC1为鳖臑，四个面的直角分别是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B.专题十四《九章算术》与高考数学(2)∵A1A＝AB＝2.由(1)知阳马B­A1ACC1的体积V＝13S矩形A1ACC1·BC＝13×A1A×AC×BC＝23AC×BC≤13(AC2＋BC2)＝13×AB2＝43.当且仅当AC＝BC＝2时，Vmax＝43，此时专题十四《九章算术》与高考数学①堑堵ABC­A1B1C1的体积V′＝S△ABC·AA1＝12×2×2×2＝2.②由题意与题图知，V三棱锥B­A1AC＝V三棱锥B­A1C1C＝12V阳马B­A1ACC1＝23.又A1C1＝2，BC1＝BC2＋C1C2＝6，设C到平面A1BC1的距离为d.则13S△A1BC1·d＝23.专题十四《九章算术》与高考数学即13·122×6·d＝23，∴d＝42×6＝233.③法一：设C在平面A1BC1上的射影为D(事实上D∈BC1)．在A1B上的射影为E.连接DE，易知A1B⊥ED.∴∠CED即为二面角C­A1B­C1的平面角．由②知CD＝d＝233.专题十四《九章算术》与高考数学由直角三角形A1BC得CE＝A1C·BCA1B＝A1A2＋AC2·BCA1A2＋AB2＝6·222＝62，∴DE＝CE2－CD2＝64－43＝16＝66.专题十四《九章算术》与高考数学∴cos∠CED＝DECE＝6662＝13.即二面角C­A1B­C1的余弦值为13.法二：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.则A1(0，2，2)，B(2，0，0)，C1(0，0，2)∴CA1→＝(0，2，2)，CB→＝(2，0，0)，C1A1→＝(0，2，0)，C1B→＝(2，0，－2)，专题十四《九章算术》与高考数学设平面CA1B的法向量为n1＝(x1，y1，z1)．平面C1A1B的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n1·CA1→＝0，n1·CB→＝0，n2·C1A1→＝0n2·C1B→＝0.2y1＋2z1＝02x1＝0.2y2＝02x2－2z2＝0.取x1＝0，y1＝2，z1＝－1；x2＝2，y2＝0，z2＝1.专题十四《九章算术》与高考数学则n1＝(0，2，－1)，n2＝(2，0，1)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·