2.1 控制系统的时域数学模型

第二章控制系统的数学模型2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型2-3控制系统的结构图与信号流图2-4控制系统建模实例教学内容:1、时域模型：本节分别通过从简单的电学电路和力学系统讲解如何建立数学模型。2、时域模型－－微分方程求解，简单讲解复习微分方程求解方法3、非线性系统的线性化，重点讲清楚线性化的条件，以及如何线性化（泰勒展开式）4、复域模型：重点介绍传递函数的概念，通过例题复习如何用拉普拉斯变换求解系统。5、对比时域系统的解，讲解传递函数的极点对系统性能的影响。6、介绍典型环节的传递函数7、系统的信号流图和梅逊(Meson)公式8、结构图及化简9、闭环系统的传递函数和误差传递函数概述：数学模型——描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。静态数学模型——在静态条件下（即变量各阶导数为零，描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型——描述变量各阶导数之间关系的微分方程。如何建立数学模型建立数学模型用二种方法：①.分析法②.实验法①.分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动本身的物理、化学规律，列出相应的运动方程。如：电工学中的克希霍夫定律；力学中的牛顿定律等。②.实验法：首先选择一种适当的典型信号，做为系统测试的输入信号，然后记录下其输出响应（输出值或输出曲线），最后利用数学方法从输入输出数据中，推出系统的数学模型。这种方法又称为系统辨识。微分方程传递函数结构图信号流图在经典控制理论有数学模型共有2类5种：①解析模型：频率特性（第五章）②图解模型：2-1控制系统的时域数学模型1.线性元件的微分方程2.控制系统微分方程的建立3.线性系统的基本特性4.线性定常微分方程的求解5.非线性微分方程的线性化6.运动的模态列写元件微分方程的一般步骤：(1)根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；(2)分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；(3)消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。并整理成微分方程的标准形式。1.线性元件的微分方程所谓标准形式是指将与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。例2-1求RLC电路的微分方程)()()()(0tututRidttdiLi代入上式dtduCti0)(解:(1)确定输入:ui(t),输出:u0(t)(2)由基尔霍夫定律可写出回路方程)()()()(00202tutudttduRCdttudLCi(3)消去中间变量并标准化)(tiRCL)(ti)(tui)(0tu图2-1RLC无源网络(2-1)例2-2求电枢控制直流电动机的微分方程解:(1)确定输入输出量:输入量:给定输入--电枢电压ua扰动输入--负载转矩Mc输出量:电动机转速ωm(2)列写原始方程反电势常数。—式中电枢反电势emeaaaaaaaCtCEEtiRdttdiLtu)()()()(图2-2电枢控制直流电动机原理图电枢回路电压平衡方程：矩。电枢电流产生的电磁转—转矩常数—式中，电磁转矩方程mmammMCtiCtM,)()((2-2)(2-3)转动惯量。—粘性摩擦系数，—式中，程电机轴上的转矩平衡方mmcmmmmmJftMtMtfdttdJ)()()()()()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma(3)从式(2-2)～(2-4)中消去中间变量ia(t)、Ea、Mm(t),并标准化(2-4)忽略La，式(2-5)可以简化为：(2-5))()()()(21tMKtuKtdttdTcammm电动机传递系数。；电动机的机电时间常数式中，)/(),/()/(11emmaaemmamemmamamCCfRRKCCfRCKCCfRJRT(2-6)例2-3求弹簧–质量–阻尼器组成的机械位移系统的微分方程。2221)(dttxdmFFF2221)()()()(,dttxdmtKxdttdxftFKxFdtdxfF解:(1)确定输入:F；输出:x(2)列原始方程SF=mafm—物体质量，K—弹簧的弹性系数，f—阻尼器的粘滞摩擦系数，F—外力，x—质量块的位移。式中，F1(t)—阻尼器的阻尼力；F2(t)—弹簧的弹力K—弹性系数。(2-8)(3)标准化)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm(2-9)3.线性系统的基本特性用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。叠加原理有两重含义：可叠加性和均匀性（或齐次性）例如下的线性微分方程为：)()()()(22tftcdttdcdttcd当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为c1(t)；当f(t)=f2(t)时，其解为c2(t)。如果f(t)=f1(t)+f2(t)，则方程的解为：c(t)=c1(t)+c2(t)。当f(t)=Af1(t)时，A为常数，则方程的解为c(t)=Ac1(t)。拉氏变换复习)()()(0tfLdtetfsFst(1).定义)(为复变量js若函数f(t)满足以下条件:①f(t)=0,t0;②f(t)的不连续点是有限的，且积分(2).常用函数的拉氏变换(见教材639页)L[δ(t)]=1,L[1(t)]=1/sL[t]=1/s2,L[t2/2]=1/s3L[tn]=n!/sn+1，L[e-at]=1/(s+a)L[sinωt]=ω/(s2+ω2)，L[cosωt]=s/(s2+ω2)①线性定理若L[f1(t)]=F1(s)L[f2(t)]=F2(s)，则L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)nkkknnnnfssFsdttfdL1)1()0()()((3).拉氏变换的基本定理②微分定理若L[f(t)]=F(s))0()0()()()0()()(2fsfsFstfLfssFtfL则，若f(t)及其各阶导数的初始值都等于零，则：)()(sFsdttfdLnnn③积分定理若L[f(t)]=F(s)，则0)(1)(1)(tdttfssFsdttfL④实位移定理)()(1)(sFettfLs)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(lim0ssFtfst⑤复位移定理⑥终值定理⑦初值定理)()]([asFtfeLat(4).拉氏反变换dsesFjsFLtfjjst)(21)()(1nnnnmmmmasasasbsbsbsbsAsBsF1111110)()()(设niiinnssassassassasF12211)(定义式通常用部分分式法将复杂函数展成简单函数之和①.A(s)=0无重根nitsitsntstsineaeaeaeatf12121)(则其中待定系数issiisssFa))((②、A(s)=0有重根，设s1为m阶重根1111111)()()()()()()(ssassassasssBsAsBsFmmmmm重根待定系数1))((1ssmmsssFa1]))(([11ssmmsssFdsda1]))(([!11ssmjjjmsssFdsdja1]))(([)!1(11111ssmmmsssFdsdmatsmmmmeatatmatmatf1])!2()!1([)(12211用拉氏变换法求解线性定常微分方程步骤:4.线性定常微分方程的求解(1)方程两边取拉氏变换,并代入初始条件;(2)由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式;(3)对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。例2-6：在例2-1中，若已知L=1H，C=1F，R=1Ω，且电容上初始电压uo(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。)0()0()()(),0()()(222oooooooususUsdttudLussUdttduL)0(1)(1)(00iCtiCdttdutto)()())0()(())0()0()((2sUsUussURCususUsLCioooooo)()0()0()()()1(2sUuLCuRCLCssURCsLCsiooo)()()()(00202tutudttduRCdttudLCi解：)0(ou式中是duo(t)/dt在t=0时的值，即分别对式(2-29)中各项求拉氏变换：经整理得：令Ui(s)=L[ui(t)],Uo(s)=L[uo(t)]，且(2-29))(1.0)1(1.0)()1(2sUssUssio2.01.0)()()1(2ssUsUssio12.01.01)()(22ssssssUsUiodttducticc)()(1.01.01)0(1)0(')(1)('cicutictucccc代入已知数据：则：(2-30))()0()0()()()1(2sUuLCuRCLCssURCsLCsiooo即：ui(t)视为阶跃输入量，即ui(t)=1(t)，则Ui(s)=1/s.对Uo(s)求拉氏反变换，用部分分式法和查表法求解得，便得到式(2-29)网络微分方程的解uo(t)，即：12.01.0)1(1)]([)(2211ssssssLsULtuoo(2-31)22221)2/3()5.0(21.0])2/3()5.0[(1ssssL)30866.0sin(2.0)120866.0sin(15.1105.005.0tetett前两项是网络输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零初始条件响应；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应。统称为单位阶跃响应。uo(t)=L-1[U1(s)+U2(s)]=u1(t)+u2(t）=零初始条件响应+零输入响应如果输入电压是单位脉冲量δ(t)，此时Ui(s)=1，网络的输出则称为单位脉冲响应，即为：)30866.0sin(2.0)120866.0sin(15.1)2/3()5.0(21.0)2/3()5.0(112.01.011)(05.005.022221221tetesssLsssssLtutto(2-32)12.01.01)()(22ssssssUsUio(2-30)利用拉氏变换的初值定理和终值定理，可以直接从式(2-30)中了解网络中电压uo(t)初始值和终值。当ui(t)=1(t)时，uo(t)的初始值为：VssssssssUstutusosoto1.012.01.0)1(1lim)(lim)(lim)(220uo(t)的终值为：VssssssssUstutusosoto112.01.0)1(1lim)(lim)(lim)(22005.非线性微分方程的线性化将非线性元件线性化有二种方法：(1).在某一定条件下，忽略非线性因素的影响，将它们视为线性元件。如：电阻、电容、电感都是在一定的条件下忽略周围环境(温度、湿度、压力等)对其的影响；电动机忽略摩擦、死区等非线性因素；线性放大器忽略死区、饱和的影响。(2).切线法或小偏差法。其