2015高考数学试题分类汇编-立体几何

专题十四空间向量、空间几何体、立体几何1.（15北京理科）设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．若“m∥”，则平面、可能相交也可能平行，不能推出//，反过来若//，m，则有m∥，则“m∥”是“∥”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.2.（15北京理科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A．25B．45C．225D．5【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有,PDABCDAB，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,5,ABCPDS1222,2,12552PABS,ACBC5，1512PACPBCSS52,三棱锥表面积表252S.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.3.（15北京理科）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC∥，4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点．(Ⅰ)求证：AOBE；(Ⅱ)求二面角FAEB的余弦值；(Ⅲ)若BE平面AOC，求a的值．OFECBA【答案】(1)证明见解析，（2）55，（3）43a【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF平面EFCB，借助性质定理证明AO平面EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AOBE，要想BE平面AOC，只需BEOC，利用向量、BEOC的坐标，借助数量积为零，求出a的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF平面EFCB，AEF△为等边三角形，O为EF的中点，则AOEF，根据面面垂直性质定理，所以AO平面EFCB，又BE平面EFCB，则AOBE.(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以、、OEODOA为、、xyz轴建立空间直角坐标系，(0,03)Aa，(,0,0),(2,233,0),(,0,3)EaBaAEaa，(2,233,0)EBaa，由于平面AEF与y轴垂直，则设平面AEF的法向量为1(0,1,0)n，设平面AEB的法向量2(,,1)nxy，2,-30,3nAEaxax，2,(2)(233)0,1nEBaxayy，则2n(3,1,1)，二面角FAEB的余弦值12121215cos,55nnnnnn，由二面角FAEB为钝二面角，所以二面角FAEB的余弦值为55.（Ⅲ）有（1）知AO平面EFCB，则AOBE，若BE平面AOC，只需BEOC，(2,EBa233,0)a，又(2,233,0)OCa，22(2)(233)0BEOCaa，解得2a或43a，由于2a，则43a.考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.4.（15北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．2C．3D．2【答案】C【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，222223SASCACSCABBC.考点：三视图.5.（15北京文科）如图，在三棱锥VC中，平面V平面C，V为等边三角形，CC且CC2，，分别为，V的中点．（Ⅰ）求证：V//平面C；（Ⅱ）求证：平面C平面V；（Ⅲ）求三棱锥VC的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）33.【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形ABV中，利用中位线的性质得//OMVB，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC中得到OCAB，再利用面面垂直的性质得OC平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用CVABVABCVV，先求出三角形VAB的面积，由于OC平面VAB，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.试题解析：（Ⅰ）因为,OM分别为AB，VA的中点，所以//OMVB.又因为VB平面MOC，所以//VB平面MOC.（Ⅱ）因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，2ACBC，所以2,1ABOC.所以等边三角形VAB的面积3VABS.又因为OC平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于1333VABOCS.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为33.考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.6.（15年广东理科）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【答案】C．【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．7.（15年广东理科）如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，4PDPC==，6AB=，3BC=.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且2AFFB=，2CGGB=.图2ADCBHFGE（1）证明：PEFG；（2）求二面角PADC--的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）73；（3）9525．【解析】（1）证明：∵PDPC且点E为CD的中点，∴PEDC，又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，PABCDEFG∴PE平面ABCD，又FG平面ABCD，∴PEFG；（2）∵ABCD是矩形，∴ADDC，又平面PDC平面ABCD，且平面PDC平面ABCDCD，AD平面ABCD，∴AD平面PCD，又CD、PD平面PDC，∴ADDC，ADPD，∴PDC即为二面角PADC的平面角，在RtPDE中，4PD，132DEAB，227PEPDDE，∴7tan3PEPDCDE即二面角PADC的正切值为73；（3）如下图所示，连接AC，∵2AFFB，2CGGB即2AFCGFBGB，∴//ACFG，∴PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角，在PAC中，225PAPDAD，2235ACADCD，由余弦定理可得222222535495cos2252535PAACPCPACPAAC，∴直线PA与直线FG所成角的余弦值为9525．【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．8.（15年广东文科）若直线1l和2l是异面直线，1l在平面内，2l在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．l至少与1l，2l中的一条相交B．l与1l，2l都相交C．l至多与1l，2l中的一条相交D．l与1l，2l都不相交【答案】APABCDEFG考点：空间点、线、面的位置关系．9.（15年广东文科）如图3，三角形DC所在的平面与长方形CD所在的平面垂直，DC4，6，C3．1证明：C//平面D；2证明：CD；3求点C到平面D的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372．【解析】试题解析：（1）因为四边形CD是长方形，所以C//D，因为C平面D，D平面D，所以C//平面D（2）因为四边形CD是长方形，所以CCD，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD，C平面CD，所以C平面DC，因为D平面DC，所以CD（3）取CD的中点，连结和，因为DC，所以CD，在RtD中，22DD22437，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD，平面DC，所以平面CD，由（2）知：C平面DC，由（1）知：C//D，所以D平面DC，因为D平面DC，所以DD，设点C到平面D的距离为h，因为CDCDVV三棱锥三棱锥，所以DCD1133ShS，即CDD136737212342ShS，所以点C到平面D的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.10.（15年安徽理科）如图所示，在多面体111ABDDCBA，四边形11AABB，11,ADDAABCD均为正方形，E为11BD的中点，过1,,ADE的平面交1CD于F（1）证明：11//EFBC(2)求二面角11EADB余弦值.9.11.（15年安徽文科）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()（A）13（B）122（C）23（D）22【答案】C考点：1.几何体的三视图；2.锥体的体积公式.12.(15年安徽文科)如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，1,1,2,60PAABACBACo.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求PMMC的值。【答案】（1）36（2）13PMMC【解析】试题分析：（Ⅰ）在ABC中ABCS＝23.又∵PA⊥面ABC∴PA是三棱锥P-ABC的高，根据锥体的体积公式即可求出结果;（Ⅱ）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此M点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果.试题解析：（Ⅰ）在ABC中，AB＝1,,2AC∠60BACABCS＝BACACABsin21＝2360sin2121.[gkstk.Com]又∵PA⊥面ABC∴PA是三棱锥P-ABC的高∴632313131ABC-ABCPSPAV＝三棱锥（Ⅱ）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，则NBNMNACMNABCACABCMN＝面面BMACBMNBMBMNAC面面此时M即为所找点，在ACCNPCCMANABN＝＝中，易知2143223＝31＝MCPM.考点：1.锥体的体积公式；2.线面垂直的判定定理及性质定理.13.（15年福建理科）若,lm是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“//l的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．14.（15年福建理科）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB^平面BEC，BE^EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(Ⅰ)求证：//GF平面ADE；(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．GFBACDE【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)23．试题解析：