4.热传导问题的数值解法2015简化版

4.1导热问题数值求解的基本思想4.2计算区域离散化与节点方程的建立4.3温度场内节点离散方程的建立4.4边界节点离散方程的建立4.5节点方程的求解4.6*一维非稳态导热问题数值解法第4章导热问题的数值解4.1.1数值计算求解思想把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的变量值的集合来代替，通过一定的原则和方式建立起这些离散点上变量值之间的关系的代数方程组，通过求解代数方程组以获得场变量的近似值。4.1导热问题数值求解的基本思想建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立离散方程和定解条件给定求解控制参数求解离散方程是否收敛解的分析是否4.1.2物理问题的数值求解过程4.1.3数值传热学中常用数值方法▲▲有限差分法（finitedifferencemethod，FDM）有限容积法(Finitevolumemethod，FVM)有限单元法（finiteelementmethod，FEM）边界元法（boundaryelementmethod，BEM）节点节点节点有限单元边界单元EWNSP有限差分法有限单元法边界元法有限容积法基本思想：将求解域划分为差分网格，用有限个离散节点代替连续的求解域。有限差分法WENSP数学基础：在每个节点上，将控制方程中各阶导数（微商）用相应的差分表达式（差商）来代替，从而在每个节点上形成一个代数方程，每个方程中包括了本节点及其附近一些节点上的未知值，求解这些代数方程即可获得近似数值解。Δx1Δx2Δx3Δx0xTT3T2T1T0bdca几何意义：是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。基本思想：将求解区域划分成一系列控制容积，每个控制容积都有一个节点做代表。有限容积法EWNSP数学基础：通过将守恒型的控制方程对控制容积做积分来导出离散方程。特点：离散方程系数物理意义明确，导出的离散方程可以保证具有守恒特性。4.2计算区域离散化与节点方程的建立区域离散化（domaindiscritization）：对空间连续的计算区域进行剖分，将其划分为许多个子区域，并确定每个区域的节点，此过程又称为网格生成。实质：用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间4.2.1区域离散化的实质与内容(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)EWNSPyxxy区域离散化后几何要素：界面节点元体网格线4.2.2节点方程的建立Taylor展开法各阶导数的差分表达式由Taylor级数展开而得；多项式拟合法控制容积平衡法将物理上的守恒方程直接应用于所研究的控制容积。4.3温度场内节点离散方程的建立【例】二维矩形域内稳态，常物性的导热问题。xyh1,tfh2,tfh3,tft0控制方程0ytxtv2222xyxynm(m,n)MN采用均匀网格区域离散4.3.1Taylor展开法1!3!23,332,22,,,1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n2!3!23,332,22,,,1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,nxΟxttxtnmnmnm,,1,由(1)得：一阶差分格式若略去截断误差，则有xΟxttxtnmnmnm,,,1,截断误差（truncationerror）向前差分（forwarddiffence）一阶精度xΟxttxtnmnmnm,,1,,由(2)得：向后差分（backwarddiffence）由(1)-(2)得：中心差分（centraldiffence）211,Δ2xΟxttxt,nm,nmm,nyΟyttytnmnmnm,1,,,同理：yΟyttytnmnmnm,,1,,21,1,,,2yΟyttytnmnmnm若将式(1)和式(2)相加：22,1,,1,22,2xΟxtttxtnmnmnmnm二阶差分格式中心差分（centraldiffence）221,,1,,22,2yΟytttytnmnmnmnm同理可得：导热微分方程的离散0ytxtv2222022,,21,,1,2,1,,1nmvnnnmnmnmnmnmΦytttxttt差分方程：对于传热问题，也称热平衡法Energybalancemethod。思路：节点有限差分方程式通过对围绕这个节点的控制体应用能量守恒获得。4.3.2控制容积平衡法(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)WSNPEτoviΦΦΦΦτvoiΦΦΦΦ流入控制体的总热流量0vsnewΦΦΦΦΦ＋稳态0voiΦΦΦ二维内部节点(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)wsnPe注：w,e,n,s表控制体界面(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,nxttyxtynmnmw,,1节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。此时：型线选择xttynmnme,,1yttxnmnmn,1,yttxnmnms,1,内热源：yxΦΦv(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy(m,n+1)wsnPexttynmnmw,,1离散方程0,1,,1,,,1,,1yxΦyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnm02221,,1,2,1,,1Φytttxtttnmnmnmnmnmnm0vsnewΦΦΦΦΦ＋【引申思考】所求节点的温度前的系数与相邻节点温度前的系数有定量关系吗？02221,,1,2,1,,1Φytttxtttnmnmnmnmnmnm由离散方程可知，当Δx=Δy且无内热源时，1,1,,1,1,4nmnmnmnmnmttttt【重要结论】所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。4.4.1平直边界上的节点0222,,1,,1,,,1yxΦyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmΔyΔxqwm,n+1m,n-1m-1,nm,nmn4.4边界节点离散方程的建立0222222,,1,,,1yxΦyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnm4.4.2外部角点xyqwqwm,n-1m,nm-1,n043222,,1,,1,,,1,,1yxΦqyxyttxyttxxttyxttynmwnmnmnmnmnmnmnmnm4.4.3内部角点m,nm-1,nm,n-1m,n+1yqwqwxm+1,n4.4.4边界热流密度不同情况分析绝热边界或对称边界qw为非零常值对流边界0wqconstwqnmfwtthq,【引申思考】当Δx=Δy时，试推导出不同边界热流密度下的最终离散表达式。4.5节点方程的求解写出所有内节点和边界节点的温度离散方程。n个未知节点温度，n个代数方程式→方程组封闭nnnnnnnnnnbtatatabtatatabtatata..................................................(a)............22112222212111212111代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值将方程组(a)改写成)......(1............................................)......(1)......(111112323121221212121111nnnnnnnnnnntatabattatatabattatabat显性格式过程：4.5.1高斯-赛德尔迭代法根据第k（k=0,1,……）次迭代的数值)()(2)(1knkk....t、tt可以求得节点第k+1次迭代温度：n,,itatabatkiinkikiiiki21)......(1)()(21)()1(取初值)0()0(2)0(1n....t、tt结论：一般采用相对偏差小于规定数值的判据更合理；当有接近于零的t时，第三种判据更合理4.5.2迭代收敛判据)(max)()1()()()1()()1(maxmaxmaxkkikikikikikikitttttttt)(maxkt—第k次迭代得到的最大值.4.6*一维非稳态导热问题数值解法4.6.1时间域的离散时间域与空间域不耦合，故→τ-ΔτSWENPSWENPSWENPτxyττ+ΔτΔxΔy【例】常物性无内热源一维导热问题:xwqn1n1nwqxwei1i1i采用控制容积平衡法。22xtat控制方程τewΦΦΦ无内热源:型线选择：→分段线性型线xttΦxtΦnnww1ddininττttxcΦtxcΦ1xwqn1n1nwqxwei1i1i4.6.2节点方程的建立内节点xttΦnne1离散方程inininininin-ttxaxttxtt111211)1()()()()(2xtttattinininininxwqn1n1nwqxwei1i1i进一步改写：)(2112)1()21()()()(inininintxattxat显式格式引入无量纲参数：2xaFo则离散方程描述为：)(11)1()21()()()(inininintFottFot网格傅里叶数无内热源:边界节点xwqwqxwi1i1in1nininwinin-ttxcqxtt112cqxxttattwinin-inin22211tthqw第三类边界条件tchxtxatchxxatin-inin222211221则离散方程描述为:显式格式网格毕渥数引入无量纲参数：2xaFoxhBitchxtxatchxxatin-inin222211221tBiFotFotBiFoFotin-inin222211141特点：所列出的方程不需要联立迭代求解。步进式推进：由已知的初始场分布，通过节点方程直接求解下一时间步长下的场分布。以此类推，可得所有时间步长下的场分布。此种方式称之为步进式推进。4.6.3节点方程的求解对于显式格式，常采用步进式推进法。