第四章 模糊决策

模糊数学杨爱峰13721029076第四章模糊决策第一节模糊意见集中决策第二节模糊二元对比决策第三节模糊综合评判第四节模糊关系方程第一节模糊意见集中决策一、问题的数学提法为了对论域U={u1,u2,…,un}中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对U中的元素排序,得到m种意见：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i种意见序列,即U中的元素的某一个排序.这些意见往往是模糊的，可以是专家的总体印象，还包括心理因素等。将这m种意见集中为一个比较合理的意见，称之为“模糊意见集中决策”。例如：评聘教授、评选先进工作者、评选获奖项目等，传统的集体表决、领导裁决等办法都有不合理之处。二、模糊意见集中决策的方法和步骤设论域U={u1,u2,…,un}，将U中的元素进行排序,专家组|M|=m人,分别对U中的元素排序发表m种意见：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i种意见序列,即U中的元素的某一个排序.若uj在第i种意见vi中排第k位,则令Bi(uj)=n–k,称1()()mjijiBuBu为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是是比较合理的.例1设U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f;解：B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.例2设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3；解：B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5.出现与人们的直觉不吻合的情况若uj在第i种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)=ak(n–k)，称mijijuBuB1)()(为uj的加权Borda数。名次一二三四五六权重0.350.250.180.110.070.04B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u5基本思想先对两个对象进行比较，然后再换两个比较，如此重复多次，每作一次比较得到一个比另一个优越的认识，并将这种模糊认识数量化，最后用模糊数学方法给出总体排序，这就是模糊二元对比决策。(1)模糊优先关系排序决策(2)模糊相似优先比决策(3)模糊相对比较决策第二节模糊二元对比决策一、模糊优先关系排序决策设论域X={x1,x2,…,xn}为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化.然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求rij满足①rii=0；②0≤rij≤1；③当i≠j时,rij+rji=1.这样的rij组成的矩阵R=(rij)n×n称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.模糊优先关系排序决策思想•由rij构成的矩阵R=(rij)nXn为模糊优先矩阵，由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系，其截矩阵用Rλ表示。•当λ由1逐渐下降时，若首次出现Rλ的第i1行元素除了对角线外全等于1，则认定xi1是第一优越对象；再在R中划去其所在的行列，得到n-1阶模糊矩阵，用同样的办法得到第二优越对象，以此类推，可以将全体对象排出一定的优劣次序。•例：设U={x1，x2，x3}（子女），在U上确定一个模糊集合A=“子女像父亲”，已知模糊优先矩阵为：•写出模糊优先关系排序00.90.20.100.70.80.30R00.90.20.100.70.80.30R0.9010000000R0.3010001110R(1)00.90.10R(1)0.90100Rx3作为第一优越对象x1作为第二优越对象因此，x1，x2，x3的模糊优先排序为x3，x1，x2模糊二元对比决策的方法与步骤是：⑴建立模糊优先关系.先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：R=(rij)n×n.⑵排序方法：①-截矩阵法：即取定阈值,确定优先对象取定阈值∈[0,1]得-截矩阵R=(rij())n×n,当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.②下确界法：先求R每一行（除对角线元素）的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.③隶属函数法：即直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是：取小法：A(xi)=∧{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n;平均法：A(xi)=(ri1+ri2+…+rin)/n,i=1,2,…,n.加权平均法：其中是一组权重1(),1,2,...,nijijjAxrin12(,,...,)n1212()()()...nnAxAxAxAxxx二、模糊相似优先比决策•先利用二元相对比较级定义一个模糊相似优先比rij，从而建立模糊优先比矩阵，然后通过λ－截矩阵来对所有的备选方案进行排序。•定义：设论域U＝{x1,x2,…,xn}，对于给定的一对元素(xi,xj),若存在数对(fj(xi),fi(xj))满足0≤fj(xi)≤1,0≤fi(xj)≤1使得在xi与xj的比较中，如果xi具有某种特性的程度为fj(xi)，xj具有某种特性的程度为fi(xj)，这时称(fj(xi),fi(xj))为xi与xj对该特性的二元相对比较级，简称二元比较级。当i=j时，令fi(xi)＝1。•称模糊矩阵为二元相对比较矩阵。21311123221231()()...()()1()...()...............()()()...1nnnnnfxfxfxfxfxfxfxfxfx模糊相似优先比决策方法•设论域U＝{x1,x2,…,xn}为n个备选方案集•若(fj(xi),fi(xj))为二元比较级，令则称rij为模糊相似优先比，R=(rij)nXn为模糊相似优先比矩阵•用类似模糊优先关系排序决策中确定λ截矩阵的方法对备选方案排序。()(),()()()()0.5jiijijjijiijjiijiifxfxrrfxfxfxfxr例菊花是一种用途很广的植物，它不仅可供药用、食用、而且具有独特的观赏价值。某农业高校观赏植物专业每年要举办菊花展览，并请新生就菊花的“美”（“美”指花的形、色、气等，都是模糊概念）进行排序。设论域U={西洋滨菊x1，万寿菊x2，亚蓝菊x3，翠菊x4、秋菊x5}菊花“美”的标准指花的造型好、颜色艳、香气正，并记为x•现考虑x1和x2与x的接近程度•若x1与x的接近程度为0.8，若x2与x的接近程度为0.8，则x1与x2的二元相对比较级为(f2(x1),f1(x2))=(0.8,0.4)同理得其余的二元相对比较级于是得到二元模糊相似优先比矩阵10.80.90.70.90.410.70.40.80.50.410.90.80.60.90.210.20.30.50.70.71得模糊优先矩阵897911214131247480.50.671121113135498114111115692211313119357711213159R0.640.540.750.330.50.640.310.620.360.360.50.820.530.460.690.180.50.220.250.380.470.780.5于是得到5种菊花的排序为西洋滨菊x1，秋菊x5，亚蓝菊x3，翠菊x4，万寿菊x2三、模糊相对比较决策•设论域U＝{x1,x2,…,xn}为n个备选方案，先在二元对比中建立二元比较级，然后利用模糊相对比较函数，建立模糊相对优先关系矩阵来进行总体排序。设论域U＝{x1,x2,…,xn}，xi与xj的二元比较级为(fj(xi),fi(xj))，称模糊相对比较函数。()(|)()()jiijjiijfxfxxfxfx•模糊相对比较函数f(xi|xj)性质：(|)[0,1]1(|)(|)(|)()(|)(|)()(|)1ijjiijijjijiijijiifxxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxfxx当时当时•设论域U＝{x1,x2,…,xn}，记rij＝f(xi|xj)，则称以rij为元素的矩阵R=(rij)nXn为模糊相及矩阵，于是，有•在模糊相及矩阵R中，对R的每行求下确界，以最大下确界所在行对应的xi为第一优越对象，划去第i行与第i列，得n－1阶模糊相及矩阵，类似地找出第二优越对象，此法一直做下去，就可对n个备选方案(对象)进行总体排序。1213121232121(|)(|)...(|)(|)1(|)...(|)...............(|)(|)nnnnfxxfxxfxxfxxfxxfxxRfxxfxx3(|)...1nfxx第三节模糊综合评判决策在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判.模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法.经典综合评判决策评总分法加权评分法综合评判的方法•评总方法：根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级，并用分数表示。将所得分数累加，然后按总分的大小排列次序，以决定方案的优劣。•加权评分法：E表示加权评价分数，ai是第i个元素所占的权重，且要求11niia1,1,2,...,niiiEaSin一、F映射定义1称映射)(:VFUf.映射的到是从FVU或表示为)()(VFBufu关系：映射是这样的一种对应可见F.对应集上的唯一确定与上的BFVuU1231234{,,},{,,,}1UuuuVvvvv设例且),(VUFR07.02.001.03.014.003.02.05.0R令321113.02.05.0)(vvvufu4321221.03.014.0)(vvvvufu32337.02.0)(vvufu定义2上的对应着设VUuVUFR,),(，它具有隶属函数集，记作一个uRF|VvvuRvRu),()(|.|处的截影在为称uRRu.处的截影在同样，可定义为vRUuvuRuRv),()(|中：例如，在例10,3.0,2.0,5.0|1u