专题13：矩形、菱形和正方形-(1)

数学电子教案考点课标要求难度特殊平行四边形的性质1．探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直．2．正方形具有矩形和菱形的一切性质中等及中等以上考点课标要求难度特殊平行四边形的判定探索并证明矩形、菱形、正方形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．中等及中等以上题型预测特殊平行四边形的中考热点，其题型可能填空、选择和解答题，也可能在压轴题中出现，每份试卷至少2题关于特殊平行四边形的内容，可能简单，也可能复杂．90°相等相等垂直平分两条对角线都相等相等垂直平分四等于90°C5考点1矩形（考查频率：★★☆☆☆）命题方向：（1）矩形有关的计算问题（特别是对角线夹角为60°的矩形）；（2）矩形的判定．1．（2013湖北宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8B．6C．4D．22．（2013四川资阳）在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝___________．证明：（1）∵点O为AB的中点，OE＝OD,∴四边形AEBD是平行四边形∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC∴四边形AEBD是矩形（2）当△ABC是等腰直角三角形时，矩形AEBD是正方形.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBA＝45°∴BD＝AD.由（1）知四边形AEBD是矩形，∴四边形AEBD是正方形.3．（2013辽宁铁岭）如图△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由.4．（2013江苏扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．（2013四川巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是（）A．24B．16C．4D．2BC133B1326．7．考点3正方形（考查频率：★★★★☆）命题方向：（1）以填空或者选择的形式考查正方形的判定；（2）正方形的边角关系；（3）正方形的对称性解决的问题．8．（2013贵州省六盘水）在平面中，下列命题为真命题的是（）．A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．四边相等的四边形是正方形9．（2013山东威海）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）．A．BC＝ACB．CF⊥BFC．BD＝DFD．AC＝BFADCCBC14．（2013山东德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75；③BE＋DF＝EF；④S正方形ABCD＝2＋.其中正确的序号是.（把你认为正确的都填上）考点4折叠问题（考查频率：★☆☆☆☆）命题方向：（1）矩形纸片的折叠问题；15．（2013四川南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．12D．16D①②④333考点5最短距离问题（考查频率：★★★☆☆）命题方向：正方形的线段之和最小问题；16．（2013年黔南州）如图，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一点，则PD＋PE的最小值为_________17．（2013浙江舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．265考点6规律探究问题（考查频率：★★☆☆☆）命题方向：一组特殊平行四边形寻找周长、面积或坐标之间的关系．17．（2013浙江衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是.2020155532例1：（2013湖南娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.（1）求证：AM＝AN；（2）当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.【解题思路】（1）证明AM＝AN，只需证明其所在的△ABM与△AFN全等；（2）探究四边形ABPF的形状，须抓住旋转角为30°，结合直角三角形中的60°、30°、90°进行思考，不难发现两组对边平行，可证其为平行四边形，再由（1）结论证出其为菱形.（1）∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°．∴∠α＝∠NAF．又∵∠B＝∠F，AB＝AF．∴△ABM≌△AFN∴AM＝AN（2）四边形ABPF是菱形.理由：∵∠α＝30°，∠EAF＝90°∴∠BAF＝120°．又∵∠B＝∠F＝60°∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠BAF＝60°＋120°＝180°∴AF∥BC，AB∥EF∴四边形ABPF是平行四边形又∵AM＝AN∴平行四边形ABPF是菱形.【必知点】1．菱形性质的理解：从这一定义可以看出，菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，我们可从菱形的共性和特性两个方面来理解．共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等．菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直．菱形的性质2．菱形判定的理解如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，菱形的判断方法可以理解为“平行四边形＋菱形特征＝菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征．性质菱形四个角对角相等四条边对边平行,四条边相等对角线对角线互相垂直平分对称性既是轴对称又是中心对称图形面积0.5ab（其中a、b表示两条对角线的长）20例2：（2013四川宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连结BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为.【解题思路】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13－x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．【必知点】顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形；顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是菱形；顺次连结菱形四边中点所得的四边形一定是矩形；顺次连结正方形四边中点所得的四边形还是正方形.例3：（2013四川雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE＋DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解题思路】①通过证明△ABE≌△ADF即可证明BE＝DF;②通过证明△ABE≌△ADF可得∠BAE＝∠DAF，即可证出∠DAF＝15º；③由∠BAE＝∠DAF，∠BAC＝∠DAC可得：∠EAG＝∠FAG，然后根据等腰三角形三线合一定理可得：AC垂直平分EF；④把△ADF绕点A逆时针旋转90º至△ABF’的位置，（或延长EB至F’，使BF’＝DF’，连接AF’）通过证明∠F’AE＝30º可得：EF’≠AE，即BE＋DF≠EF⑤过点E作EN⊥AF，垂足为N，欲证S△CEF＝2S△ABE，需证S△AF’E＝S△CEF∵AF’＝EF，∴可证EN＝CG即可.C例1：已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是（）例2：下列说法中正确的是（）A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形【解题思路】A是不对的，A项提供的条件首先不能证明它是平行四边形；B对于直角梯形也成立，所以是错误的；C所说的是菱形，所以也不对；D正确，对角线互相平分可证明这个四边形是平行四边形，又一个角是直角，根据矩形的定义可知是矩形．【易错点睛】B项很具迷惑性，提供的两个条件都是证明矩形所必须的，只不过少了一个条件．例3：如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE＝________．【解题思路】由于△ABE为等边三角形，则AE＝BE，AD＝BC，∠DAE＝∠CBE，则△ADE≌△CBE，则∠DAE＝∠CBE＝30°，又AD＝AE，则∠DEA＝75°，则∠DCE＝15°．【易错点睛】本题出看起来无从下手，因为题目中没有给出一个度数，但却要求出角的度数。但发现，正方形、等边三角形本身就是带有角的度数的，所以可以根据它们求出此角的度数，本题易错的地方是找不到解决问题的途径．