4.4 大数定理与中心极限定理

4.4大数定理与中心极限定理大数定律在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性.大量的随机现象的平均结果具有稳定性.概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律（lawoflargenumber)切比雪夫（Chebyshev)不等式22PXEX切比雪夫不等式证明设X为连续型随机变量，其密度函数为()fx则()xEXPXEXfxdx221PXEX或定理1设随机变量X具有数学期望E(X)=μ和方差D(X)=σ2,则对任意正数ε，有22()()xEXxEXfxdx222()()xEXDXfxdx证毕切比雪夫（Chebyshev)不等式的应用在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。例1已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。解设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则7300,()700EXXDX则5200940073002100PXPX173002100PX2270017300210021009PX而8520094009PX所以大数定律定义若存在常数,对任意正数有,lim{||}1,nnPYaa则称随机变量序列依概率收敛于记为{}nY,a.PnYa性质设,PnYb.PnXa若(,)gxy在点(,)ab连续，则(,)(,)PnngXYgab定理2（切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量12,,,,nXXX相互独立，且具有相同的数学期望和方差：2(),()(1,2,).kkEXDXk作前n个随机变量的算术平均11,nkkYXn则对任意正数,有lim{||}1nnPY即序列11nkkYXn依概率收敛于观测量X在相同的条件下重复观测n次，当n充分大时，“观测值的算术平均值接近于期望”是一大概率事件。伯努利大数定理（频率的稳定性）lim0nnPpn推论设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数恒有n定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定事件A在每次试验中出现的概率()npPAn中心极限定理（Centrallimittheorem)客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理独立同分布的中心极限定理定理3设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差，则随机变量的分布函数满足如下极限式1niiXnYn()nFx22121lim()lim2ntixinnnXnFxPxedtn()x定理的应用：对于独立的随机变量序列，不管服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布同理，有nX(1,2,,)iXin1niiX2,Nnn211(,)niiXXNnn中心极限定理求概率步骤1，构造一串独立同分布且期望和方差已知的随机变量；2，将所求事件的概率转化成为这一串随机变量之和X在某一区间内取值的概率；3，用正态分布的概率计算公式求解。例2一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解设部件的总长度为X，每部分的长度为Xi（i=1,2,…,10)，则()2iEX()0.05iX101iiXX由定理3可知：X近似地服从正态分布2102,100.05N即20,0.025N则产品合格的概率为200.119.920.1PXPX20.12019.9200.0250.0250.1210.0250.4714棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace)二项分布的极限分布是正态分布212=12-,,...,,1lim=()(1)2nntixinXXXpxXnpPxedtxnpp设随机变量相互独立，并且都服从参数为的两点分布，则对任意实数有()()(1)(1)bnpanpnppnpp一般地，如果~(,)XBnp，则(1)(1)(1)anpXnpbnpPaXbPnppnppnpp定理表明，当n很大，0p1是一个定值时，二项随机变量X的分布近似正态分布N(np,np(1-p)).例3现有一大批种子，其中良种占1/6，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？解设取出的种子中的良种粒数为X，则1~(6000,)6XB所求概率为10.0160006XP9401060PX10601000940100010005610005622.078510.9625解设100根木材中长度不短于3米的根数为X，则例4有一大批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木材中任取100根，试求其中至少有30根短于3米的概率。~(100,0.8)XB所求概率为70PX1000.8701000.81000.80.21000.80.2XP701000.81000.80.212.50.00621例5.某单位有一台电话总机,装有200台分机，设每台分机用外线的概率为0.2,且独立.问:需装多少外线才能以0.95的概率保证每台分机对外线的使用?解:任一时刻使用外线的分机数为X,X~B(200,0.2)由题意,求最小r,使得P(0≤X≤r)≥0.95由于n较大,故近似地,X~N(np,np(1-p))=N(40,32).台分机不用外线第台分机用外线第令：kkXk012001kkXX则：)3240()3240(ΦrΦP(0≤X≤r)95.0)3240(rΦ反查表,得:65.13240r所以,r≥49.3因为r为整数,故r=50