1.3.3函数的最大(小)值与导数概述

11.3.3函数的最大(小)值与导数2一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，•若对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•若对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxy0xoxy0x注意注意1)函数的极值概念是局部性的2)函数的极值可能有多个3)函数的极大值可能比极小值小4)函数的极值不在端点上取1.函数极值的定义3(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的值的符号——若左负右正（-~+），则f(x)在这个根处取得极小值(1)确定函数的定义域；若左正右负（+~-），则f(x)在这个根处取得极大值；口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。2.求可导函数y=f(x)的极值的步骤是:4极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。但是，我们更关心的是函数f(x)在区间内的最大(小)值。也就是说，如果x0是f(x)的极大(小)值，那么在点x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值。56注意1)函数的最值概念是全局性的2)函数的最大值（最小值）唯一3)函数的最大值大于或等于最小值4)函数的最值可在端点上取设f(x)在D上有定义,0,xD都有最大值与最小值统称为最值,使函数取得最值的点称为最值点.,Dx)x(f)x(f01).,则称)(0xf为函数)(xf的最大值.函数最大(小)值定义：0()()fxfx2).,则称)(0xf为函数)(xf的最小值.7oxya1x2x3x4x5x6xb()yfx观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象，1、找出函数的极大值、极小值；2、找出函数的最大值、最小值。函数的极大值是：函数的极小值是：函数的最大值是：函数的最小值是：246(),(),();fxfxfx135(),(),();fxfxfx6();fx3().fx3、函数的极值点在什么位置上取得？单调区间的分界点处8在图(1)，(2)中，观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？abxyo(1)oxya1x2x3x4x5xb()yfx(2)4、函数的最值点在什么位置上取得？5、函数的极值与函数的最值有什么联系？6、连续函数上一定有最值吗？],[)(baxfy在9一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。思考：7、如何求连续函数上的最值？],[)(baxfy在xyoab10最值的求法xyoab一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的方法:（1）求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。11解:令,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f’(x)+0-0+f(x)↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,且f(x)极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且f(x)极小值=-4/3.例1、求函数31()443fxxx在[0,3]上的最大、最小值.又f(0)=4,f(3)=1,故函数F(x)最大值是4,最小值是-4/3)2)(2(4)(2/xxxxf0)(/xf)(/xf12一、用导数求函数最值的步骤：1、确定函数的单调性，求出极值；课堂小结2、将极值与端点处的函数值进行比较确定函数的最值。131、已知函数在上有最小值-37，则f(x)在区间上的最大值是______;326fxxxa（）[22]，.__________;1)(32最小值是的最大值是函数xxxf、[22]，2)22(f1)1(f____;____;]2,2[2sin)(2最小值是上的最大值是在函数xxxf、2)2(f2)2(f-29144、已知（1）若在上是增函数，求a的取值范围；（2）求在区间上的最大值。)(xf)(xf]1,0(,12)(2xxaxxf]1,0(]1,0(上恒成立在即上恒成立在]10(1]1,0(0)(3/，xa，xf，xgxxg上单调递增在由设]1,0()(,1)(31,1)1()]([maxagxg.1,0)(]1,0(22)(1/3/axfxx，fa综合上述知上也有在时当解：上是增函数在]1,0()(,22)()1(3/xxfxaxf154、已知（1）若在上是增函数，求a的取值范围；（2）求在区间上的最大值。)(xf)(xf]1,0(,12)(2xxaxxf]1,0(]1,0(解：，xfa。上是增函数在时知由]1,0()(1)1()2(12)1()(1maxafx，fa时当33/1,022)(1axxaxf，a得令时当+0-单调增极大值单调减)(xf)1,0(3a]1,1(3a31a,1103a323max3)1()(1aafx，fa时当：列表)1(3)1(12)(32maxaaaaxfx)(/xf165、已知函数（1）若在上是增函数，求a的取值范围；（2）当时，求在区间上的最大值和最小值。)(xf)(xf1()ln(0)xfxxaax[1,)1a1[,2]2(1)1amin2()()(1)0;fxfxf极小值（）max1()()1ln2.2fxf11()(2)(1ln2)(ln2)0,22ff17一、用导数求函数最值的步骤：1、确定函数的单调性，求出极值；课堂小结2、将极值与端点处的函数值进行比较确定函数的最值。注意：比较极值与端点处函数值大小时，有时需要作差或作商，甚至要分类讨论。18解(1)x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f’(x)-0+f(x)↘极小值↗令,解得x=k-1.0)(/xf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(/xf()()(1)();(2)()[0,1].xfxxkefxfx例2、已知函数求的单调区间求在上的最小值/()(1)xfxxke()(,1)(1,)fxkk的减区间；增区间。19()()(1)();(2)()[0,1].xfxxkefxfx例2、已知函数求的单调区间求在上的最小值01xK-1K-1K-12()(,1)(1,)fxkk（）的减区间；增区间。10k当，1k即时，()[0,1]fx在上单调增；min()(0)fxfk112()[0,1]kkfx当，即时，在上单调增减；min()(1)(1)fxfke01112kk当，即时，()[0,1),[1,1]fxkk在减在增；1min()(1)kfxfke综合上述20二、求函数最值时，应注意：1、当区间一定，而极值点变化时，要分类讨论；课堂小结2、当极值点一定，区间变化时，要分类讨论。3、当极值点和区间都变化时，也要分类讨论。21/(21)(1)(1)()(0),xaxfxxx11()(,1),(1,)112afxxa当时，在减增，是极小值，2(2)01,aaa010xax11()(0,),(,)22fx在增在减22()ln(2)(1)()1;(2)()[,]fxxaxaxfxxayfxaa已知函数若在处取极值，求的值求函数在上的最大值。/(1)01,fa22211()(,),(,)22fxaa在增在减，max11()()1ln224fxfa212122aa当即时，2()[,]fxaa在减，2532max()()2ln2fxfaaaaa10,2a当时2()[,]fxaa在增，max()fx32()ln2faaaaa综合上述22()ln(2)(1)()1;(2)()[,]fxxaxaxfxxayfxaa已知函数若在处取极值，求的值求函数在上的最大值。211221222aaa当，即时，23例3、已知,（1）若对任意都有，求实数a取值范围；（2）若对任意都有，求实数a取值范围；42)(23xxxxf8)(2xaxxg),0[x),0[,21xx)()(xgxf)()(21xgxf5a161a不等式恒成立(或有解）问题min[()()]0fxgxminmax()()fxgx[0,1]()()xfxgxa变式1：若存在使得成立，求的范围。1212[0,),[1,2]()()xxfxgxa变式2：若使得成立，求的范围。max[()()]0fxgxmaxmin()()fxgx24三、解决不等式恒成立问题的方法1、有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题。求解时，注意确定哪个是函数，哪个是自变量；常用分离变量法。课堂小结2、一般有：max()[()]fxfx恒成立min()[()]fxfx恒成立min()()[()()]0fxgxfxgx恒成立12minmax()()[()][()]fxgxfxgx恒成立25四、解决不等式有解问题的方法1、有解问题，一般是转化为求函数的最值问题。求解时，注意确定哪个是函数，哪个是自变量；常用分离变量法。课堂小结2、一般有：min()[()]fxfx有解max()[()]fxfx有解max()()[()()]0fxgxfxgx有解12maxmin()()[()][()]fxgxfxgx有解261、已知在及时取极值。（1）求a，b的值；（2）若存在使得成立，求实数c取值范围.（3）若对任意都有成立，求实数c取值范围.[0,3]x32()2338fxxaxbxc1x2x2()fxc//(1)03(1)4(2)0fabf[0,3]x2()fxc19cc或08cc或2(0)8fcc2(3)98fcc272、已知，若不等式在恒成立，求整数的最大值。()1()fxxgxx()1kgxx(0,)()ln(1)fxxxk()1kgxx(1)[1ln(1)](0,)xxkx在恒成立，(1)[1ln(1)]()xxhxx设，min()khx则/21ln(1)()xxhxx21ln(1)()(0)xxxxx设28/()01xxx()(0,)x在递增，(2)1lg30,(3)22lg20()0(2,3)xaa存在惟一实数满足/()0()0aha1ln(1)aamax3k(1)[1ln(1)]()xxhxx/21ln(1)()xxhxx21ln(1)()(0)xxxxx设()0xax当时,/()0;hx/0()0()0;xaxhx当时,()hx增()hx减23amin()()()134hxhxhaa极小值（，）