1.3.3已知三角函数值求角(1)

已知三角函数值求角我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。1.已知正弦值，求角例1、已知sinx=，12（1）若，求x；（2）若，求x；（3）若x∈R，求x的取值集合。]2,2[x)2,0[x(1)6x5(2)66x或5(3)|2,66xxkkZ或2k+在y=sinx的非单调区间上，对于一个已知的正弦值，可能有多个角和它对应但在y=sinx的单调区间上，只有一个角和已知的正弦值对应通过该问题，你发现了什么结论呢？一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny(其中－1≤y≤1，)22x]2,2[x即arcsiny(|y|≤1)表示上正弦等于y的那个角[,]22在区间上，]2,2[x如sinx=,则x=arcsin=22224sinx=1/3,则x=arcsin1/3.sinx=,则x=arcsin()=－32323若x不在，可先用诱导公式转化到上，再求角[,]22[,]222已知余弦值和正切值，求角例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0,2π)，求x；533x或类似地，这时可以用反余弦来表示x31（2）已知cosx=－，求x的取值集合；如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯一值与之对应.在区间[0，π]上符合条件cosx=y(－1≤y≤1)的角x，记为x=arccosy，若x在第三象限，则x=π+arccos31综上得满足cosx=－的角的集合是311{|2arccos,}31{|2arccos,}3xxkkZxxkkZ(2)cosx=－，若x在第二象限31x=arccos(－)=π－arccos3131反余弦举例：若cosx=0.2，x在第一象限，则x=arccos(0.2).若cosx=0.2，x在第四象限，则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2)解集为{x|x=2kπ+arccos0.2,k∈Z}∪{x|x=2kπ－arccos0.2,k∈Z}若cosx=－0.7，x在第二象限，则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7.若cosx=－0.7，x在第三象限，则x=π+arccos(0.7)解集为{x|x=2kπ+π－arccos0.7,k∈Z}∪{x|x=2kπ+π+arccos0.7,k∈Z}例3.已知tanx=，且x∈,求x的值.33(,)22由tan()=－tan=－,6633所以x=－6一般地，对于tanx=a(a0)，则x=kπ+arctana，k∈Z.如tanx=2，则x=kπ+arctan2.k∈Z.对于tanx=－a(a0)，则x=kπ－arctan(－a)，k∈Z.如tanx=－2，则x=kπ－arctan2.k∈Z.练习.用反三角式表示下列各式中的x:(1)sinx=,x[0,];(2)tanx=,x[,2];(3)cosx=-,x[,].1354317152355arcsinarcsin1313x或4arctan3x15arccos17x