1.3.条件概率与独立性

01:57:15袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？1.３条件概率与事件独立性01:57:15若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为在A条件下B发生的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？01:57:15一、条件概率例1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第一次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球01:57:15显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.一般地，设A、B是中的两个事件，则01:57:15条件概率的性质(1)非负性:P(B|A)≥0；(2)规范性:P(|A)＝1；(3)可列可加性：设B1，B2，…,是一列两两互不相容的事件，即BiBj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有P[(B1B2…)|A]＝P(B1|A)＋P(B2|A)+….01:57:15例2一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球.B--从盒中随机取到一只新球.01:57:15二、乘法公式设A、B，P（A）0,则P(AB)＝P(A)P(B|A).称为事件A、B的概率乘法公式。乘法公式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).01:57:15例3盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则01:57:15P21.例1.2201:57:15定义事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间的一个完备事件组（分割），若满足：A1A2……………AnB三、全概率公式与贝叶斯公式01:57:15定理设A1，…,An是的一个分割，且P(Ai)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B有称为全概率公式。01:57:15例4某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现在从出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品的概率。解：01:57:15若该厂规定，出了次品要追究有关流水线的经济责任。现在出厂产品中任取一件，结果为次品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问四条流水线各应承担多大责任？例5某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。01:57:15定理设A1，…,An是的一个分割，且P(Ai)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B，有1()(|)(|),(1,...,)()(|)jjjniiiPAPBAPABjnPAPBA称为贝叶斯公式。01:57:15例5四条流水线各应承担多大责任问题求解01:57:15例6某研究机构研发了一种诊断早期肝癌的方法，数据显示，患者用此法被查出的概率为0.95，非患者用此法被误诊的概率为0.1.假如人群中肝癌的患病率为0.0005，现在若有一人被此法诊断为患有早期肝癌，求此人确实患有早期肝癌的概率?01:57:15作业：p66-6717、18、19、211.条件概率()()()PABPBAPA全概率公式贝叶斯公式公式复习1122()()()()()()()nnPAPABPBPABPBPABPB1()()(),1,2,,()()iiinjjjPABPBPBAinPABPB()()()PABPBAPA乘法定理说明1.全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.A1B2B3B1nBnB说明2.贝叶斯公式计算的是后验概率，利用观测或实验的结果来修正之前的认识。例设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.123,BAAA123()()PBPAAA312211()()()PAAAPAAPA971(1)(1)(1)101023.200iA(i=1,2,3)ni,以表示事件透第次落下打破01:57:15例数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?解：设A---发射端发射0，B---接收端接收到一个“1”的信号．)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P＝＝0.06701不清0(0.55)(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)01:57:15袋中有a只白球，b只黑球，有放回的每次从袋中取一球，问第一次取得白球的条件下第二次取得白球的概率是多少？第二次取得白球的概率是多少？四、事件的独立性01:57:15（一）两事件独立定义设A、B是两事件，若P(AB)＝P(A)P(B)则称事件A与B相互独立。事件A与事件B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.说明:两事件相互独立()()()PABPAPB两事件互斥ABAB11(),(),22PAPB若AB()()().PABPAPB例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系则AB11(),()22PAPB若()()().PABPAPB故由此可见两事件互斥但不独立.()0,PAB1()(),4PAPB则01:57:15（二）多个事件的独立定义若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),(2)P(AC)=P(A)P(C),(3)P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：(4)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。三个事件相互独立三个事件两两相互独立01:57:15一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2…ikn，具有等式P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。n个事件相互独立n个事件两两相互独立01:57:15定理设A、B是两事件相互独立，P(A)≠0,则P(B)＝P(B|A)01:57:15定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。01:57:151.若n个事件A1，A2，…，An相互独立，则其中任意k个事件也相互独立。两个结论：2.若n个事件A1，A2，…，An相互独立，则其中任意k个事件也相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍然独立。01:57:15（三）事件独立性的应用例设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?射击问题例甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.01:57:1501:57:15伯恩斯坦反例例一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A，B，C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否相互独立?01:57:15例在可靠性理论上的应用:如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。01:57:15设A=R---L至R为通路,Ai=第i个继电器通,i=1,2,…5由全概率公式01:57:15五、贝努利概型定义：有一随机试验，观察事件A发生与否，将此试验独立地重复进行n次，则称此模型为n重贝努利概型。求在n次独立试验中事件A发生k次的概率。01:57:1501:57:1501:57:1501:57:15定理：事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率为p，在n次Bernoulli试验中事件A恰好发生k次的概率记作：B(k;n,p)。则01:57:15例9某物业公司负责小区内的40家住户的各种维修业务，已知一周内向物业公司保修的概率为0.1，求一周内至少有三家住户保修的概率为多少。可以认为小区住户向是否物业公司保修是相互独立的，可看作n=40，p=0.1的Bernoulli模型，所求的概率为：01:57:15例10事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率为p，连续试验，直到事件A发生r次试验才停止，问事件A第r次发生在第n次试验的概率？解：P(事件A第r次发生在第n次试验)01:57:15作业：p6726