5.5三角形内角和定理

5.5三角形内角和定理在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看你有什么办法可以验证呢?从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?1．掌握三角形内角和定理的证明及其简单应用.2.初步掌握利用辅助线证明，体会思维转化和符号语言的作用.3.通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展.如图,当我们把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置时，就得到了三角形三个内角的和等于180°.根据前面的基本事实和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.ABCE213D这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABC已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗?∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实际行动.ABC所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.PQ231【做一做】证明:过点A作PQ∥BC,则∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?根据下面的图形,写出相应的证明.你还能想出其他证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM【试一试】先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果.ACB图1BAC图2BAC图3BAC图4这里的结论,以后可以直接运用.ABC【归纳升华】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°-∠C.∠B+∠C=180°-∠A.∠A+∠C=180°-∠B.【归纳升华】推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.推论的概念：由基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论.如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近0°),而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近180°,当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于180°.由此你能想到什么?CBA【读一读】CBA在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时,∠A就越来越大(越来越接近180°),而∠B和∠C,越来越小(越来越接近0°).由此你能想到什么?用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形……其内角会产生怎样的变化呢？结论当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°，而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角，即∠B+∠C接近于180°.【试一试】1.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=°，即∠A+∠B+90°=°，所以∠A+∠B=°.ABC18018090【合作探究】直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.2.如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=°，即∠C+90°=°，所以∠C=°，所以△ABC是______三角形.ABC18018090有两个角互余的三角形是直角三角形.直角【例】如图∠C=∠D=90°,AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.ABCDE【例题】相等．同角的余角相等．练习如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？DABC【跟踪训练】变式1若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？是．有两个角互余的三角形是直角三角形．DABC变式2若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ACB为直角三角形吗？为什么？是．有两个角互余的三角形是直角三角形．DABC变式3如图，若∠C=90°，∠AED=∠B，△ADE是直角三角形吗？为什么？是．有两个角互余的三角形是直角三角形．（证明过程略）．DEABC1.三角形的内角和是180°；2.推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;3.推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角;4.直角三角形的两个锐角互余5.两个锐角互余的三角形是直角三角形通过本课时的学习，需要我们掌握：1.（昆明·中考）如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=80°，∠B=60°，那么∠BDC=()A.80°B.90°C.100°D.110°2.（济宁·中考）若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选B.由题意可设这个三角形的三个内角分别为2x,3x,4x,根据三角形内角和定理可得:2x+3x+4x＝180°,得x＝20°,因此可得三个内角分别为40°，60°，80°，故选B.3.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______°.【解析】直角三角形中有一直角为90°，所以另外两锐角的和为90°，因为一个锐角为40°,所以另一个锐角是50°.【答案】504.（红河·中考）如图，D,E分别是AB,AC上的点，若∠A=70°，∠B=60°，DE∥BC，则∠AED的度数是____.【解析】因为∠A=70°，∠B=60°，所以∠C=50°，又因为DE//BC，所以∠AED=∠C=50°.答案：50°5.（郴州·中考）如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=___度．【解析】根据题意可知，∠3=90°，因此∠4+∠5=180°-90°=90°，又因为∠1+∠4=180°，∠2+∠5=180°，所以∠1+∠2+∠4+∠5=360°，因为∠4+∠5=90°，所以∠1+∠2=270°.答案：2707.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°．从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少？ABDC解：∠ACB=∠CBD-∠CAD=45°-30°=15°