理论力学--动量矩定理11

几个有意义的实际问题动量矩定理结论与讨论相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理刚体平面运动微分方程质点和质点系动量矩刚体绕定轴转动的微分方程第11章动量矩定理几个有意义的实际问题谁最先到达顶点？直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象几个有意义的实际问题？为什么二者转动方向相反几个有意义的实际问题？航天器是怎样实现姿态控制的几个有意义的实际问题？1.质点的动量矩vrvMmmO)(§11-1质点和质点系的动量矩MO(mv)=mvh=2△OABMO(mv)定位矢量)()]([vvMmMmzzOOA(x,y,z)BhyxzrmvMo(mv)2.质点系的动量矩质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。zzOL][LOriviyxzm1mim2()zziiLMmvii()OOiimmLMvrv§11-1质点和质点系的动量矩virimiyxzzzJLJz——刚体对z轴的转动惯量★绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。3.定轴转动刚体对转轴的动量矩令：2iizmrJ22()zziiiiiiiiiLMmmvrmrmrv§11-1质点和质点系的动量矩1.质点的动量矩定理yxzOA(x,y,z)rd()()dOOmtMvMF★质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。§11-2动量矩定理Mo(mv)mvBFMo(F)dd()()dddd()ddOmmttmmttmMvrvrvrvvvrF()OMFd()()dOOmtMvMF2.质点的动量矩守恒定律0)(.FzM若2恒矢量)(vMmO量恒)(vmMz0)(.FMO若1d()()dd()()dd()()dxxyyzzMmMtMmMtMmMtvFvFvF§11-2动量矩定理rmvFMOh有心力作用下的运动问题恒矢量vrvMmmO)(★有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。constmvhmO)(vM()0OMF§11-2动量矩定理3.质点系的动量矩定理(e)d()dOitOLMF★质点系对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和。(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF(e)(i)d()()()dOiiOiOimtMvMFMF(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMtFFF其中：(i)()0OiMF§11-2动量矩定理4.质点系动量矩守恒定律如果外力系对于定点的主矩等于0，则质点系对这一点的动量矩守恒。如果外力系对于定轴之矩等于0，则质点系对这一轴的动量矩守恒。(e)(e)(e)d/dd/dd/dOxOxOyOyOzOzLtMLtMLtM(e)(e)(e)000OxOyOzMMM123CCCOxOyOzLLL(e)ddOOtLM(e)0OM＝COL§11-2动量矩定理解：取系统为研究对象例题1均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度vRv应用动量矩定理(e)ddOLMt)(22RgWJWRaOPWOmgFOxFOyOOWLJvRg()OOJWLRvRg(e)MWR()OJWdvRWRRgdt例题2水通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为v1和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为1和2，水的体积流量为qV、密度为，水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2，叶轮水平放置。求：水流对叶轮的驱动力矩。解：在dt时间间隔内，ABCD段的水流运动到abcd时，所受的力以及他们对O轴之矩包括以下几部分：相邻水流的压力——忽略不计；叶轮的反作用力矩——与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。abcd重力——由于水轮机水平放置，重力对O轴之矩等于0；应用动量矩定理abcdMz222111dcosdcosCDcdVABabVLqtvrLqtvr222111(coscos)zVMqvrvr222111(coscos)zzVMnMqvrvrdzabcdABCDCDcdABabLLLLL(e)ddzzLMt例题2水通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为v1和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为1和2，水的体积流量为qV、密度为，水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2，叶轮水平放置。求：水流对叶轮的驱动力矩。例题3求：此时系统的角速度zaallABCDozABCD解：取系统为研究对象022)sin(laamgmg(e)0zM210022zLmaama222(sin)zLmalLz=恒量(e)()0ziMF解:0量恒zLBaAavv2BrArvvu2BrArBaAavvvv强与弱不分胜负0AAaBBamvrmvrAaArBaBrvvuvvu解题步骤：1、根据题意确定研究对象。对于多轴系统，必须拆开取单轴为研究对象。2、受力分析。只画外力，不分析内力。根据受力特点判断是否动量矩守恒。3、运动分析，建立必要的运动学关系，速度合成定理等。4、建立坐标系，规定外力矩和动量矩的正方向，并计算动量矩。速度和角速度都是绝对速度。5、根据动量矩定理（守恒定理）建立方程并求解。§11-2动量矩定理作业：(习题)p280-p28111-1,11-4iiizrmJ2——刚体z轴的转动惯量virimiF1F2FnFiyxz★刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。§11-3刚体绕定轴的转动微分方程Fam(e)()0ziMconstF1.若(e)()ziMconstconstF2.若()zzJMF★转动惯量——是刚体转动时惯性的度量.22dd()ddzzzzJJJMttFd()()dzziJMtF()()ziiiiiiziiLmrmrrJvaCmgO解：取摆为研究对象例题5求：微小摆动的周期。已知：m，a，JO。此方程的通解为)sin(0tJmgaOmgaJTO2周期为22dsindOJmgat22d0dOmgatJ摆作微小摆动，有：sin0OFNF例题6求：制动所需的时间。已知：JO，0，FN，f。解：取飞轮为研究对象解得0NOJtfFRNddOJFRfFRt00N0ddtOJfFRtⅠⅡM1M2求：轴Ⅰ的角加速度。例题7已知：J1，J2，R1，R2，i12=R2/R1M1，M2。M2M11FFnF′Fn′解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象解得：)()(2122112211iJJiMM121221RiR2222JFRM1111JMFR刚体对转轴的转动惯量转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。其单位在国际单位制中为kg·m2)(FzzMJ§11-4刚体对轴的转动惯量2ziiJmrCBAlxdxxz1.简单形状物体的转动惯量的计算（1）均质细直杆（2）均质圆环222201d12CziilJmrmxxmll22OziiJmrmR213AzJml§11-4刚体对轴的转动惯量ROz（3）均质圆板RdO2.惯性半径（或回转半径）2zzmJ惯性半径(回转半径)mJzz2222012d2CziiRJmrmmRR§11-4刚体对轴的转动惯量3.平行轴定理01iiCmymy2mdJJzCz★两轴必须是相互平行★JzC必须是通过质心的刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与两轴之间距离的平方的乘积。222111()zCiiJmrmxy2222211222111()[()]()2ziiiiiiJmrmxymxydmxydmydm§11-4刚体对轴的转动惯量CBAzCz)83(3122221ldldmlmJO盘杆OOOJJJ2131lmJO杆)83()2(22222ldldmdlmJJCO盘lOCdm1m2221()23zCzlJJmml§11-4刚体对轴的转动惯量例题8求：O处动约束力。已知：m，R。解：取圆轮为研究对象OJmgR2222321mRmRmRJO解得：Rg32由质心运动定理20,3CxCyaaRg013OxOyFFmgCOmgFOyFOx(e)(e)xOxCxyOyCyFFmaFmgFma解题步骤：1、根据题意确定研究对象。对于多轴系统，必须拆开开取单轴为研究对象。2、受力分析。只画外力，不分析内力。根据受力特点是否动量矩守恒。3、运动分析，建立必要的运动学关系，速度合成定理等。4、建立坐标系，规定外力矩和动量矩的正方向，并计算动量矩。速度和角速度都是绝对速度。5、根据动量矩定理（守恒定理）建立方程并求解。§11-4刚体对轴的转动惯量作业：(习题)p280-p28211-2,11-8miri′Oyxzriy′x′z′viiiiCmvrLCCCOmLvrLCrC§11-5质点系相对于质心的动量矩定理()OOiiiiimmLMvrv()OCiiiCiiiiimmmLrrvrvrviCirrriiCmmvv(e)(e)ddddddCCCCCCiiimmtttrLvrvrFrFOCCCmLrvL(e)d()dCCitLMF§11-5质点系相对于质心的动量矩定理iCirrr(e)dd()()ddtOCCCOimtLrvLMF(e)iirF0CCvv(e)ddCCimmtvaF()ddeCiitLrF)()e(iCFM质点系相对于质心(平移系)的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，这就是质点系相对于质心(平移系)的动量矩定理。(e)d()dCCitLMF这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。当外力对质心的主矩为0时，§11-5质点系相对于质心的动量矩定理constCLCOyxx′y′DF1F2Fn由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：刚体平面运动微分方程§11-6刚体的平面运动微分方程CCJL(e)(e)d()dCiCCCimJJMtaFF2(e)22(e)2ddd()dCiCCimtJMtrFF(e)CiRimaFF(e)(e)dd()()ddCCCCiCiLJJMMttF刚体平面运动微分方程§11-6刚体的平面运动微分方程e()CxCyCCimxFmyFJMF例题7已知：m,R,。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象Nsin0cosCagFmg圆盘作平动(e)(e)N(e)sincos00xCxCyCyCCFmgmamaFmgFmaJM(b)斜面足够粗糙,求纯滚时的f(e)(e)Nsincos0xCyCCFmgFmaFmgFJFRaRN22sinsin331sincos3CgagRFmgFmgtan31gf满足纯滚的条件：CFNmgaCF例题7已知：m,R,。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。由得：NfFF