理论力学--刚体的平面运动8

第8章刚体的平面运动几个有意义的问题刚体平面运动分解为平移和转动求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的瞬心法用基点法求平面图形内各点的加速度运动学综合应用结论与讨论几个有意义的问题几个有意义的问题刚体的平面运动——刚体上任意一点到某一固定平面的距离保持不变。§8-1刚体平面运动的概述和运动分解★刚体平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。A1A2——平动A刚体平面图形S刚体的平面运动——刚体上任意一点到某一固定平面的距离保持不变。平面图形上的任意直线－这一直线的运动可以代表平面图形的运动，也就是刚体的平面运动。确定直线AB或平面图形在Oxy参考系中的位置，需要3个独立变量(xA,yA,)。其中xA,yA确定点A在平面内的位置；确定直线AB在平面内的位置。3个独立变量都是随时间变化的函数，即为刚体平面运动方程：)()()(321tftfytfxAA§8-1刚体平面运动的概述和运动分解OABPxyxPyP解：1、确定连杆平面运动的3个独立变量与时间的关系。)sinarcsin(sincosltrtrytrxAA连杆的平面运动方程为tlllrytlrltrxPPsin)()sin(1cos1212、连杆上P点的运动方程例题1求：1、连杆的平面运动方程；2、连杆上P点(AP=l1)的运动轨迹、速度与加速度。已知：曲柄－滑块机构中OA=r,AB=l;曲柄OA以等角速度绕O轴转动。刚体平面运动分解为平移和转动基点、平移系与平面图形的转动刚体平面运动分解为平移和转动基点、平移系与平面图形的转动刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法选择基点－任意选择；在基点上建立平移系(特殊的动系)－在刚体平面运动的过程中，平移系只发生平移;刚体平面运动(绝对运动)可以分解为跟随平移系的平移(牵连运动)，以及平面图形相对于平移系的转动(相对运动)。刚体平面运动分解为平移和转动基点、平移系与平面图形的转动转动角速度与基点的位置无关1200dlimlimdddtttttt称为平面图形的角速度、角加速度。刚体平面运动分解为平移和转动基点、平移系与平面图形的转动平移的轨迹、速度与加速度都与基点的位置有关。因为平移系(动系)相对定参考系没有方位的变化，平面图形的角速度既是平面图形相对于平移系的相对角速度，也是平面图形相对于定参考系的绝对角速度。分解为平移和转动时，描述平面运动的特征量基点速度与平面图形的角速度是描述刚体平面运动的特征量对于分解为平移和转动的情形，平面图形上任选基点A的速度vA，以及平面图形的角速度，是描述刚体平面运动的特征量。vA描述图形跟随基点的平移；描述相对于基点平移系的转动。刚体平面运动分解为平移和转动vBAyxOvAvA定系－Oxy基点－A动系－Ax’y’平面图形－S平面图形的角速度－S基点速度－vA速度合成定理－va=ve+vrBy’x’AvBvBAvA平面图形上任意点的速度，等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。va=vBve=vAvr=vABvB=vA+vBAvBA＝．AB§8-2求平面图形内各点速度的基点法vA30°ABvBvAvBA解：取A点为基点，研究B点的运动BAABvvvcot302003mm/sBAvv2rad/sABvBAAB/sin30400mm/sBAAvvAB例题2求：（1）杆端B的速度vB；（2）AB杆角速度AB。已知：AB=l=200mm;vA=200mm/s解：取B点为基点，研究A点的速度ABBAvvvcot302003mm/sBAvv2rad/sABvABAB/sin30400mm/sABAvv例题2求：（1）杆端B的速度vB；（2）AB杆角速度AB。已知：AB=l=200mm;vA=200mm/svA30°ABvBvABvBABB0O0A例题3已知：曲柄－滑块机构中，曲柄OA＝r，以等角速度0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。求：1、滑块的速度vB；2、连杆AB的角速度AB。vB000coscosrvvAB00tanlrlvBAAB解：取A点为基点BAABvvv0Avr00tantanrvvABAABvBA例题4已知：曲柄－滑块机构中，曲柄OA＝r，以等角速度0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。求：连杆AB中点M的速度vM。00tanlrAB解：取A点为基点MAAMvvv00tan21rMAvABMA4tan102022rvvvMAAMB0O0AMvBABvAvMAvM例题5已知：OA=OO1=r，BC=2r，∠OAB=45°求：此瞬时C点的速度vC。解：(1)机构的运动分析(2)取A为基点，研究B点BAABvvv02245cosrvvvABAB0rvA021ABvBAABCO1O0BCAvAvBvBAvAABC(3)再取B为基点，研究C点CBBCvvv0rBCvABCCB02/2Bvr02221045cos2rvvvvvCBBCBBC例题5已知：OA=OO1=r，BC=2r，∠OAB=45°求：此瞬时C点的速度vC。O1O0BCAvAvBABCvCvBvCB速度投影法BAABvvv将上式向AB轴投影：coscosABvv速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。BAABvAvAvBvBA§8-2求平面图形内各点速度的基点法解：由速度投影定理30cos60cosABvvcot302003mm/sBAvv例题2求：（1）杆端B的速度vB；（2）AB杆角速度AB。已知：AB=l=200mm;vA=200mm/svA30°ABvBB0O0A000coscosrvvAB解：由速度投影定理0coscos0BAvv0AvrvB例题3已知：曲柄－滑块机构中，曲柄OA＝r，以等角速度0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。求：1、滑块的速度vB；2、连杆AB的角速度AB。解题步骤：1、分析题中各物体的运动：平移，转动，平面运动2、分析作平面运动的物体上的那些点的速度大小和方向是已知的，那些点的速度某一要素已知。3、选定基点A，则B点的速度vB=vA+vBA，作速度平行四边形，vB为对角线。4、利用几何关系求解未知量。§8-2求平面图形内各点速度的基点法作业：(习题)p225：8-3，8-5◆瞬时速度中心的概念◆应用瞬时速度中心确定刚体平面运动的速度——速度瞬心法◆几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法平面图形S，基点A，基点速度vA,平面图形角速度。过A点作vA的垂直线AN，AN上各点的速度由两部分组成：跟随基点平移的速度vA－牵连速度，各点相同；相对于平移系的速度vMA－相对速度，自A点起线性分布。因此C点的绝对速度vC＝0。C点称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心。0ACvvACvAvAvCAvMANMCA§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法AvAC＝令vDD速度瞬心的特点1、瞬时性－不同的瞬时有不同的速度瞬心；2、唯一性－某一瞬时只有一个速度瞬心；3、瞬时转动特性－某一瞬时的运动都可视为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动。BvBAACvvACBBCvvBCDDCvvDC刚体平面运动时，平面图形上各点的速度分布情况，与图形绕定轴转动时各点的速分布情况相类似，可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。vAACvAvAvCAvMANMCA§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法S几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定AvABvB90o90oC第二种情形已知平面图形上两点的速度矢量的方向，这两点的速度矢量方向互不平行。第一种情形vO已知平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，则图形与固定面的接触点就是其速度瞬心。C§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法SAB第三种情形已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。vAvB90o90oSAB已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相反，但二者都垂直于两点的连线。vAvBC几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法90o90oC第四种情形已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。或两者大小相等且垂直于二点的连线。0瞬时平动该瞬时，图形上各点的速度分布如同图形作平动的情形一样。※但加速度不同。SBASBAvA90ovB90ovAvB90o90o§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法几种特殊情形下瞬时速度中心位置的确定解：由其速度分布可知其瞬心为C点2003mm/sBABvBC2rad/sACvAABCAB例题2求：（1）杆端B的速度vB；（2）AB杆角速度AB。已知：AB=l=200mm;vA=200mm/svA30°ABvB例题6已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO。求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。由vO＝R得到RvO解：圆轮与地面接触点A，由于没有相对滑动，因而在这一瞬时，A点的速度vA＝0。A点即为速度瞬心。假设这一瞬时的角速度为，0022vvvvDC,020vvvBA,OCAvOBDB0O0AMvBAB0000cottanAABrvCAlrl4tan1020rCMvABM00cosBABrvBC解：由其速度分布可知其瞬心为C点。C例题3已知：曲柄－滑块机构中，曲柄OA＝r，以等角速度0绕O轴转动，连杆AB＝l。在图示情形下连杆与曲柄垂直。求：1、滑块的速度vB；2、连杆AB的角速度AB。ABO1O0BCA解：由其速度分布可知ABC的瞬心为O1点22001rrAOvAABC01210rCOvABCC0122rBOvABCB2011BOvBBOvAvCO1B例题5已知：OA=OO1=r，BC=2r，∠OAB=45°求：此瞬时C点的速度vC，O1B的角速度。ABCvBRBaCO0Arb例题7已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。求：圆轮的角速度。解：对机构进行运动分析0rvvBAAB杆作瞬时平动对BC杆，由速度投影定理得cossinCBvvtantan0rvvBC圆轮瞬心在E点tan0RrRvCCCEvAvBvCaAτnBABABAaaaaτBAaABn2BAaAB平面图形上任意一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动切向加速度和法向加速度的矢量和。AaASBnBAaτBAaaBAaB§8-4用基点法求平面图形内各点的加速度例题8已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。求：圆轮瞬心点的加速度。解：圆轮瞬心在C点RvOdd()ddOOvattRR取圆心C为基点τnCOCOCOaaaa2n2τOCOCOOvaRRaRa2nOCCOvaaRORaOCnCOaτCOaaORaOvOCO例题9已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。AB=l求：（1）B端的速度和加速度，（2）AB杆的角速度和角加速度。解：由速度分布可知AB杆瞬心在C点lvlvCAvAAAAB245sinAABBvCBvaARvAB45°ACvBAB(2)取A点为基点，进行加速度分析τnBABABAaaaa2n22ABAABvall在Bx、By轴投影得nτcos45cos45sin45sin45BABABBAA