理论力学--动能定理12

第12章动能定理※力的功※质点和质点系的动能※动能定理※势力场·势能·机械能守恒定律※功率·功率方程·机械效率※质点系普遍定理的综合应用※结论与讨论Mf2Mf1F1F2FN2FN1FrmaC=F1-F2-FrCW从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力F1－汽车行驶的驱动力F1F2＋Fr汽车向前行驶如果发动机的功率很小而摩擦力很大如果发动机的功率很大而摩擦力很小如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法§12-1力的功a.常力的功b.变力的功FMM1M2S功是代数量，其国际单位制为J（焦耳）。cosWFscosdWFs0cosdsWFs§12-1力的功21ddMMWWFrFrddddxyzFFFxyzFijkrijk2112(ddd)MxyzMWFxFyFz21dddMMWtWtFrFvFvc.几种常见力的功(1)重力的功x重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，与运动轨迹形状无关。质点系：§12-1力的功mgZ,Y,X00211212d()zzWmgzmgzz1212()iiiWmgzz1212()CCWmgzz(2)弹性力的功2011ddd()d()d22rrrrrrrrrrr221212()2kW§12-1力的功kF00)(rFlrk22111200d()dAAAAWkrlFrrr21120221020()d[()()]2rrWkrlrkrlrl(3)定轴转动刚体上作用力的功yxzrAFFxyAτFnF§12-1力的功dddWFsFrFr()zMFrFdzWM2112dzWM(4)平面运动刚体上力系的功MiCFidrCdriCd221112ddCRCCCWMFr各力做功的代数和。力系向质心简化所得力和力偶做功之和。§12-1力的功d()dddiiCCiRCCWWMMFrFFrdddiCiCrrrdddiiiCiiCWFrFrFrdcosdiiCiiFCMFr)(iCMFd质点的动能221mvTiiivmT221质点系的动能动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也为J。§12-2质点和质点系的动能2221iiirm刚体是由无数质点组成的质点系。a.平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能virimiyxzJz§12-2质点和质点系的动能222212121CiCiiimvmvvmT22)(2121iiiiiirmvmT221zJc.平面运动刚体的动能PCdvC221122CCTmvJCvC作平面运动的刚体，动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和。§12-2质点和质点系的动能221PJT2PCJJmd222)(2121mdJJTCPCvd243CmvT221122CCTmvJ21,2CCJmRvR1.质点的动能定理ddmtvFddddmtvrFrddmvvFr21d()2mvW1221222121Wmvmv211dd()d()d22vvvvvvv微分形式质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。积分形式在质点运动的过程中，动能的改变量等于作用于质点的力作的功。§12-3动能定理2.质点系的动能定理diTW21iTTW质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和微分形式。质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点系全部力所作功的和积分形式。§12-3动能定理21d()2iiimvW21d()2iiimvW3.理想约束约束力作功等于零的约束理想约束。′FdrOABF1dr1dr2F2OF12dd0WFrFr1122111222dddcosdcos0WFrFrFrFrCFFNdd0WtFrFv§12-3动能定理4.内力的功BAABrrrdddBAABrrrFA和FB在drA和drB上所作之元功idddAABBWFrFr(-dd)BABFrrd(-)BBAFrrdBABFrOxzyFAFBABrArB这一结果表明：当两点之间的距离发生变化时，这两点之间的内力所作之元功不等于零。§12-3动能定理工程上几种内力作功的情形◆作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。◆有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。对于简单的刚体系统，将力分为主动力和约束力，当其为理想约束时，约束力不作功。)(12主iWTT§12-3动能定理例题1已知：摩擦阻力为车重的0.2倍，空车重G0求：G/G0=？解：取车研究对象，设弹簧的最大变形为m(1)车下滑到弹簧压缩至最大30°(2)车卸料后又弹回原位置，由动能定理得2002)(2.030sin)(00mmmklGlG由动能定理得22)(2.030sin)(00mmmklGlG372.030sin2.030sin0GG解得：2122)(2.030sin)(mmmklGlGWOPWv例题2均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度s解：取系统为研究对象222121210OJvgWTT主动力的功：Rv12WWs由动能定理得：WsvRJvgWO02121222将上式对时间求导，并注意dd,ddvsavtt)(22RgWJWRaO解得：OPWvs例题2均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度由动能定理得：WsvRJvgWO02121222将上式对时间求导，并注意dd,ddvsavtt例题3已知：m，R,f，。求：纯滚时盘心的加速度。CFNmgvCF解：取系统为研究对象s222121210CCJmvTTRvC主动力的功：sin12mgsW由动能定理得：sin0432mgsmvC2243CmvTsin32ga解得：例题4求：轴Ⅰ的角加速度。已知：J1,J2,R1,R2,i12=R2/R1,M1,M2。ⅠⅡM1M2解：取系统为研究对象2222112121210JJTT21121221RRi由运动学可知：21212212)(21iJJT主动力的功：11221221112)(iMMMMW由动能定理得：112212121221)(0)(21iMMiJJ将上式对时间求导，并注意1111dd,ddtt解得：2112121212MMiJJiⅠⅡM1M22121112()MWMi2212112211022TTJJ例题4求：轴Ⅰ的角加速度。已知：J1,J2,R1,R2,i12=R2/R1,M1,M2。BACPmgvC解：取杆为研究对象222121210CCJmvTT2lvc22261mlT主动力的功：120(sinsin)/2Wmgl由动能定理得：220/60(sinsin)/2mlmgl)sin(sin30lg解得：例题5AB=l,m,，不计摩擦。求：任一时，AB的ω和α。0将方程对时间求导，并注意dd,ddttcos23lg解得：BACPmgvC例题5AB=l,m,，不计摩擦。求：任一时，AB的ω和α。0由动能定理得：220/60(sinsin)/2mlmgl)sin(sin30lg解得：ABBAO例题6已知：两均质杆质量为m，长度为l,轮B质量为m求：AB杆水平时轮B的速度。解：取系统为研究对象vBvAAB由运动学可知，AB杆速度瞬心在A点122220112223BAABBTTmvJmv主动力的功：mgllmglmglmgW4223212由动能定理得：mglvmlB403222glvB6解得：OBCDAm1gsv解：取系统为研究对象1222101122PTTmvJPrRv由运动学可知：2222RmmJP2222212))((21vrRRmmT例题7重物A：m1，轮BC系统的质量为m2，回转半径为ρ，各轮的半径分别为r和R，轮D质量不计，轮C作纯滚。求：重物下落的a。由动能定理得：gsmvrRRmm12222210))((21)()()(2222121RmrRmrRgmaA解得：主动力的功：gsmW112OBCDAm1gsvP例题7重物A：m1，轮BC系统的质量为m2，回转半径为ρ，各轮的半径分别为r和R，轮D质量不计，轮C作纯滚。求：重物下落的a。OCBPOACBPF例题8已知：轮O质量为m，P，f。求：轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。FTFNmg解：取轮O为研究对象2222222143)21(21210mRmRmRJTTC主动力的功：mgfsPsW212由动能定理得：mgfsPsmR204322)2(32mgfPmsR解得：)(32mgfPmROCBPOACBPFFTFNmg例题8已知：轮O质量为m，P，f。求：轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。由动能定理得：mgfsPsmR204322关于摩擦力的作功0OFNFM功是力与其作用点位移的乘积。这里“位移”并不是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。CMF§12-3动能定理动能定理解题步骤：1、选取某质点系（质点）作为研究对象；2、选定应用动能定理的一段过程；3、分析质点系的运动，计算过程中起点和终点的动能；4、分析作用于质点系的力，计算各力在此过程中所作的功；5、应用动能定理建立方程，求解未知量。§12-3动能定理作业：(习题)p319-p320：12-5,12-8思考题：12-5，12-61.功率力的功率－力所作之功对时间的变化率vFttWPvFrFddd力的功率等于切向力与其作用点速度的乘积。dddWPMMtt作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的乘积。单位：W（瓦特）kW（千瓦）§12-4功率·功率方程·机械效率2.功率方程质点系动能定理的微分形式iWT＝d等式两边同除以dtiiPtWtTddd＝质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。——功率方程无用有用输入－－＝PPPtTdd输入P有用P无用P——输入功率——有用功率，输出功率——无用功率，损耗功率§12-4功率·功率方程·机械效率3.机械效率n21——系统的总效率有效功率输入功率ddTPt有用有效功率§12-4功率·功率方程·机械效率例题9已知：轮A质量为m2，R，杆AB质量m1，长l。求：=45°点A在初瞬时的加速度。解：取系统为研究对象，在任意角时sinlvACvAAAB由运动学可知：sin2AABEvCEvRvAABATTT系统总动能：22222212121RmvmA221211212121ABElmvm