1.3 极限运算

一、基本初等函数的极限二、极限的运算法则三、两个重要极限第3节极限的运算下一页上一页返回一、基本初等函数的极限基本初等函数图象1.通过观察基本初等函数的图象来分析基本初等函数在定义点、无穷远处及无定义处的极限（或左右极限）情况或趋势.下一页上一页返回2.归纳小结（1）定义点的极限：或为无穷大;或不存在.（3）无定义处的极限（2）无穷远处的极限：等于该点的函数值等于0（指数函数、部分幂函数）;或C（常量函数、反切函数）;下一页上一页返回二、极限的运算法则定理1如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么BAxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[ABxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[)0()(lim)(lim)()(limBBAxgxfxgxf下一页上一页返回推论1常数可以提到极限号前，即limCf(x)=Climf(x)=CA推论2如果limf(x)=A，且m为自然数，那么lim[f(x)]m=[limf(x)]m=Am下一页上一页返回解运用定理1及其推论可得:7lim8limlim)78(lim112121xxxxxxxx).78(lim21xxx求例17limlim8)lim(1121xxxxx.271812下一页上一页返回一般地，有(类型1):即:多项式函数在x0处的极限等于该函数在x0处的函数值.)(lim0110axaxannnnxx011)lim()lim(00axaxanxxnnxxn下一页上一页返回.462134lim221xxxxx求解由例1知道当x1时所给函数的分子和分母的极限都存在，且分母极限.)()()(lim01241612462221xxx例2下一页上一页返回462134lim221xxxxx)462(lim)134(lim2121xxxxxx121)1(3)1(42.32128所以下一页上一页返回)2)(1()2)(1(lim2xxxxx223lim222xxxxx11lim2xxx)1(lim)1(lim22xxxx1212.31解.223lim222xxxxx求例3下一页上一页返回一般地，有(类型2):如果所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限都为零，人们常称这类极限为.”00“型极限此时，不能直接用商的极限运算法则.而应根据具体情况作适当的恒等变换，使之符合条件，在运用极限的运算法则.下一页上一页返回定理2设函数由函数])(xfy复合而成．如果)(ufy)(,xu的附近（除外）且在,)(lim00uxxx0x0x,那么又有,)(0uxAufuu)(lim0])(lim0xfxxAufuu)(lim0下一页上一页返回.2,sin2sin,2构成的复合函数为由可视则函数令xuuyxyxu例4计算解xx2sinlim0所以时且因为,0sin,0,02,0uuxux.0sinlim2sinlim00uxux下一页上一页返回类型3：求复合函数的极限时可把极限符号穿过各外层关系深入到内层变量求极限，然后求外层函数的极限值.下一页上一页返回三、两个重要极限xxysin.0sin时的变化趋势当观察函数xxx.1sinlim.10xxx下一页上一页返回.1sin)(,0xxxfx时观察得出：当（夹逼定理）定理3)(.)(lim)(lim)(lim)()()()0(||0证明从略，那么并且成立，，总有或附近的任意如果对于AxfAxhxgxhxfxgNNxxx下一页上一页返回.1sinlim0xxx证明)20(,,xxAOBO圆心角设单位圆,tan,ACxABx弧.ACO，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形的OABACxoBD,BD高为,sinBDx于是有下一页上一页返回,tansinxxx,1sincosxxx即.02也成立上式对于x,20时当xxxcos11cos02sin22x2)2(2x,22x,02lim20xx,0)cos1(lim0xx,1coslim0xx,11lim0x又.1sinlim0xxx下一页上一页返回.35sinlim0xxx计算解令5x=u，当x→0时u→0，因此有uuxxux53sinlim35sinlim00.35135sinlim350uuu例5也可以按如下格式进行：xxxxxx5535sinlim35sinlim00.3513555sinlim3505xxx下一页上一页返回例6.cos1lim20xxx求解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx2022022sinlim2122sinlim21xxxxxx2121.21下一页上一页返回:)(1sinlim0类型四的推广重要极限xxx公式要求2、分母与正弦函数的角变量相同；3、角变量趋近于0.]]1)()(sinlim)()(sinlim,0)(lim0)(xxxxxx可把公式推广为如果:1sinlim0的使用要求重要极限xxx下一页上一页返回1、它是型极限；00.tan0limxxx求下一页上一页返回).0(si0limkxnkxx求).0,0a(sinsi0limbbxnaxx求.-12cos1limxxx求.e11lim.2xxx可以证明，,11)(时当函数xxxfx时，当0x，由数列极限ennn11lim,)1()(1xxxf或者下一页上一页返回，nnxxxxnxx11lim)1(lim11lim10都有极限，且.e)1(lim11lim10xxxxxx人们记这个极限为数e，于是有下一页上一页返回.11lim2xxx计算解因为，1111212xxxx，且e11limxxx所以，有21211lim11limxxxxxx.e11lim2121xxx例7下一页上一页返回.1lim20xxx计算例8解方法1令u=-x,因为x0时u0，uuxxux2020)1(lim1lim210)1(1limuuu.e12所以下一页上一页返回方法2掌握熟练后可不设新变量]2)1(020)(1lim1limxxxxxx]2)1(0)(1limxxx.e12下一页上一页返回有时，所给函数在自变量的某个趋向下，底的极限为1，指数的极限为无穷，.1”型未定式“:11lim的使用要求重要极限exxx(2)函数具有乘幂形式，指数和底数都是变量.人们称这类极限为下一页上一页返回(3)底数减去1后，与指数互为倒数。(1)它是型的极限”“1可把公式推广为如果,)(limx:11lim的推广重要极限exxxexxxxx)()()()(11lim)(11lim（另一种形式略）下一页上一页返回.)1ln(lim0xxx计算例9解，)1ln(lim)1ln(lim100xxxxxx则当x0时，ue，，令xxu1)1(所以原式=1，即.11limln1lnlim)1ln(lim10100xxxxxxxxx下一页上一页返回下一页上一页返回例9推广解则当x0时，u0，所以.32lim2xxxx计算例10解因为.3113)1(332xxxxx所以令u=x-3，当x时u，511lim32limuuxxuxx.e1e1111lim5uuuu因此下一页上一页返回练习.)23(lim2xxxx求幂指式的极限，先利用幂的有关运算把式子变换成含有标准式，再用公式求.类型5：下一页上一页返回1.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy下一页上一页返回2.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey下一页上一页返回3.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(下一页上一页返回4.三角函数正弦函数xysinxysin下一页上一页返回xycosxycos余弦函数下一页上一页返回正切函数xytanxytan下一页上一页返回xycot余切函数xycot下一页上一页返回正割函数xysecxysec下一页上一页返回xycsc余割函数xycsc下一页上一页返回5.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数下一页上一页返回xyarccosxyarccos反余弦函数下一页上一页返回xyarctanxyarctan反正切函数下一页上一页返回xarcycot反余切函数xycotarc下一页上一页返回