2015第一轮复习高考数学直线与圆锥曲线的位置关系

第九节直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法直线与圆锥曲线的位置关系可分为：_____、_____、_____.这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，圆锥曲线C1：f(x,y)=0,由Ax+By+C=0(A2+B2≠0),f(x,y)=0,相交相切相离即将直线l的方程与圆锥曲线C1的方程联立，消去y便得到关于x的方程ax2+bx+c=0(当然，也可以消去x得到关于y的方程)，通过方程解的情况判断直线l与圆锥曲线C1的位置关系，见下表：无公共点一个交点两个交点一个交点不等无交点2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=____________=_____________________==.______________________2121k|xx|2212121kxx4xx12211|yy|k21212211yy4yyk判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则弦长|AB|=.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式Δ0.()【解析】(1)正确，直线l与椭圆C只有一个公共点，则直线l与椭圆C相切，反之亦成立.(2)错误，因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.2121t|yy|(3)错误，因为直线l与抛物线C的对称轴平行时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.(4)正确，|AB|=，又x1=ty1+a,x2=ty2+a,∴|AB|==.(5)错误，应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ0.答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×221212xxyy221212tyatyayy［］2222121212tyyyy1t|yy|1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0)，则()(A)直线与抛物线有一个公共点(B)直线与抛物线有两个公共点(C)直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能无公共点【解析】选C.因为直线y=kx-k=k(x-1)恒过定点(1，0)，而点(1，0)在抛物线内部，故直线与抛物线有一个或两个公共点.2.已知以F1(-2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x++4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.根据题意设椭圆方程为=1(b0)，则将x=代入椭圆方程，得4(b2+1)y2+b2y-b4+12b2=0,∵椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，∴Δ=(b2)2-4×4(b2+1)·(-b4+12b2)=0，即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3,长轴长为.3y322627422222xyb4b3y48338322b4273.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a等于()(A)(B)(C)(D)4【解析】选C.将x-y-1=0，即y=x-1代入y=ax2得，ax2-x+1=0,∵直线与抛物线相切，∴Δ=(-1)2-4a=0，解得a=.121314144.已知双曲线x2-y2=1和斜率为的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标满足的方程是__________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB的中点坐标(x0,y0),则两式相减，得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),∵≠0,∴,∴,即y0=2x0.答案：y=2x1222112222xy1xy1，，2212xx0120122xyy2yxx00x1y25.过椭圆+y2=1的左焦点且倾斜角为的直线被椭圆所截得的弦长为_______.【解析】设直线与椭圆+y2=1的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由椭圆方程+y2=1得：a=3，b=1，所以c=，因此，直线方程为：，与椭圆方程+y2=1联立，消去y得：=0,2x962x92x9223y(x22)32x924x122x15则x1+x2=，x1x2=，所以|AB|===2.答案：2321541211|xx|3212122323xx4xx181533考向1直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用【典例1】(1)已知椭圆=1，若此椭圆与直线y=4x+m交于不同两点A，B，则实数m的取值范围是_________.(2)已知抛物线的方程为y2=4x,斜率为k的直线l过定点P(-2，1)，若直线l与抛物线只有一个公共点，则k的值为_______.22xy43(3)(2012·安徽高考)如图，F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线于点Q.2222xyab2axc①若点Q的坐标为(4，4)，求椭圆C的方程；②证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.【思路点拨】(1)(2)将直线与曲线方程联立转化为所得方程解的个数满足的条件求解.(3)①利用F1P⊥x轴，PF2⊥QF2，构建关于a,b,c的方程组，求解；②只需证明直线PQ与椭圆相切，即其方程联立消元后的一元二次方程有唯一解即可.【规范解答】(1)直线y=4x+m与椭圆=1联立，消去y得：67x2+32mx+4(m2-3)=0，由已知，其判别式Δ=(32m)2-4×67×4(m2-3)0,解得：m267,即：.答案：()(2)由题意，得直线l的方程为y-1=k(x+2)，由得ky2-4y+4(2k+1)=0(*)22xy4367m6767,672y1kx2y4x，(ⅰ)当k=0时，由方程(*)得y=1,方程组有一个解,此时，直线与抛物线只有一个公共点.(ⅱ)当k≠0时，方程(*)的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).由Δ=0，即2k2+k-1=0，解得k=-1或k=,∴当k=-1或k=时，方程组有一个解，此时，直线与抛物线只有一个公共点.综上可知，当k=-1或k=0或k=时，直线与抛物线只有一个公共点.答案：-1或0或12121212(3)①方法一：由条件知，P(-c,)，故直线PF2的斜率为.因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y=.故Q(,2a).由题设知，=4,2a=4，解得a=2,c=1.故椭圆方程为=1.2ba222PFb0bakcc2ac2222ac2acxbb2ac2ac22xy43方法二：设直线x=与x轴交于点M.由条件知，P(-c,).因为△PF1F2∽△F2MQ，所以=.即，解得|MQ|=2a.所以解得故椭圆方程为=1.2ac2ba12|PF||FM|12FF|MQ|22b2caa|MQ|cc2a4,c2a4,a2c1，，22xy43②直线PQ的方程为，即y=,将上式代入=1，得x2+2cx+c2=0.方法一：其判别式Δ=(2c)2-4c2=0,方法二：解得x=-c,y=.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.222axy2acba2acaccxaa2222xyab2ba【互动探究】若将本例(1)中“此椭圆与直线y=4x+m交于不同两点A，B”变为“此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y=4x+m对称”，则实数m的取值范围如何？【解析】方法一：由于A，B两点关于直线y=4x+m对称，所以设直线AB的方程为，即x=-4(y-b)，将其代入=1，得:13y2-24by+12b2-3=0，其判别式Δ=(-24b)2-4×13×(12b2-3)0，解得：b2①，设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M0(x0,y0),1yxb422xy43134∴y1+y2=,x1+x2=-4(y1-b)-4(y2-b)=,∴M0(),又M0在y=4x+m上，∴有,∴b=②将②代入①解得.方法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x,y)，kAB=,x1+x2=2x,y1+y2=2y,24b138b134b12b,131312b16bm131313m4213213m13132121yy1xx4=12①=12②①②两式相减得，即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部，则＜1,即.答案：()22113x4y22223x4y222221213xx4yy022m9m43213213m13132132131313，【规律方法】1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题.【提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.曲线上存在关于直线对称的两点问题的解法及关键(1)解法：转化为过两对称点的直线与曲线的相交问题求解.(2)关键：使用两对称点的连线与对称轴垂直，两点的中点在对称轴上.【加固训练】（1）若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数是()(A)至多为1(B)2(C)1(D)0【解析】选B.由题意知：2，即2，∴点P(m,n)在椭圆的内部，故所求交点个数是2个.22xy94224mn22mn22xy94（2）过双曲线=1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条【解析】选C.由于a=1，所以2a=24，数形结合知，当A，B在左右两支上时有2条，又过右焦点垂直于x轴的弦长恰好为4，故A，B同在右支上时，有1条.所以共3条.22yx2考向2与弦长、弦中点及弦端点相关的问题【典例2】(1)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，-1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若线段AB的中点为(2，-2)，则直线l的方程为_____________.(2)过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，如果，则直线AB的方程是__________.AF2FB(3)(2013·新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：=1(ab0)右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为①求M的方程.②C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值.2222xyab31.2【思路点拨】(1)涉及弦的中点、斜率问题可利用点差法求解.(2)关键将弦的端点满足的向量关系转化为其横坐标大小关系，从而构建方程求解.(3)①涉及弦AB的中点问题，考虑点差法，建立关于a,b的方程组，解得a,b的值，确定M的方程.②将四边形ACBD的面积表示出来，可转化为S＝|AB|·h，然后利用函数的知识求最值.【规范解答】(1)由题意知，抛物线的方程为x2=-4y，设A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1≠x2,联立方程得两式相减得,∴=-1,∴直线l的方程为y+2=-(x-2),即y=-x.答案：x+y=0211222x4y,x4y,