1.3 条件概率

概率论与数理统计数学教研室贺丽娟第一讲随机事件及其运算第三讲条件概率与派生概率公式第二讲概率定义及其算法第四讲独立性与派生贝努里概型第一章随机事件及其概率PA那么,当n充分大时A在的次数为Nm设随机事件，即事件A发生的频率为=mN统计概率次重复试验中发生NfANfA=mN设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含k个样本点，则事件A出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.PA||||AA所包含样本点个数样本点总数kn古典概率设随机试验E的样本空间是Ω。如果E的每一事件A都被赋予某个实数P(A)，且事件函数P(·)满足条件：（1）对任一事件A都有（2）（3）设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于i≠j，AiAj=，i，j=1,2,…,总有1212()()()PAAPAPA那么，就称实数P(A)为事件A的概率。()1;P()0;PA公理化概率第三讲条件概率与派生概率公式认识事件的相对性观念与条件概率、乘法公式、全概率公式与Bayes公式将一枚硬币连抛两次，则样本空间是如果我们已经知道试验结果中“至少出现了一次正面”,问此时{HH,HT,TH,TT}记{}{}HT,THA一次正面一次反面,则2()4PA()PA记至少出现一次正面{}{HH,HT,TH}B从而由于已发生,故“样本空间”变为B{}HH,HT,TH()PAB两个概率含义不同，值也不相同(|)PAB23将一枚硬币连抛两次，记如果我们已经知道试验结果中“至少出现了一次正面”,问此时{}{}HT,THA一次正面一次反面()PA记至少出现一次正面{}{HH,HT,TH}B由于已发生,故“样本空间”变为B{}HH,HT,THB(|)PAB()()PABPB||||||||ABB||||A|BB||||ABB一.条件概率的公理化定义)()()(BPABPBAP同理可得为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率..)()()(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设BAAPABPABPAPBA说明：条件概率仍为事件的概率，因此也满足概率的三个公理（非负性，规范性，可列可加性）及概率的各条性质。注：|PBAPAB与的区别（2）从样本空间上讲，计算PAB的样本空间为ABA，计算|PBA的样本空间为（1）从语言叙述来讲，“在…发生的条件下，…”“在…时候，…”，“已知…，…”等等都是条件概率。例10.1220.183甲、乙两城市位于长江下游，根据气象资料知：甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18%.两地同时下雨的比例为12％。求下列事件的概率：1、已知乙地为雨天，甲地也是雨天。2、甲、乙两地至少有一地为雨天。解设A:“甲地为雨天”B:“乙地为雨天”则2.0AP18.0BP12.0ABPBPABPBAP.12.PAB26.012.018.02.0PAPBPAB设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有()0.8,PA()().()PABPBAPA()0.4,PB()(),PABPB0.41|.0.82PBA解例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?因为于是则记甲每天参加课后体育活动{}A乙每天参加课后体育活动{}B()0.20,()0.18,()0.12PAPBPAB()(|)()PABPABPB0.120.670.18()(|)()PABPBAPA0.120.600.20()()(0.26)()PABPAPBPAB因为较小，较大,两人去活动可能是相约的，故可推断甲、乙相识()PAB(|),(|)PABPBAEx.根据长期观察知道甲、乙两学生每天参加课后体育活动的比率分别为和两人同时参加体育活动的比率为试问甲、乙两学生是否相识？20%18%,12%.则所求概率为()(|)()PABPBAPAEx.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解设A表示“2件中至少1件不合格”，B表示“2件都不合格”,()1()PBPA24210262101CCCC151.乘法公式()0,PB若则()(|)()PABPABPB二、基于条件概率的乘法原理()0,PA若则()(|)()PABPBAPA2.广义乘法公式12()0,1,2,3,,nPBBBn若则1212112()()(|)(|)PABBPBPBBPABB12131241231212()(|)(|)(|)()(|)nnPBPBBPBBBPBBBBPBBBPABBB111()()(|)PABPBPAB123121312123()()(|)(|)(|)PABBBPBPBBPBBBPABBB12()nPABBB类似地例3透镜落地即碎的概率为1/2，若头次不碎，第二次碎的概率为7/10，若前二次皆不碎，第三次碎的概率为9/10。求落地三次都不碎的概率。1,2,3iAi解以记“第i次落地而碎”的事件，则所求概率为123PAAA121312||PAPAAPAAA17911121010=3200例4据以往资料表明，某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律：P｛孩子得病｝＝0.6，P｛母亲得病|孩子得病｝＝0.5,P｛父亲得病|孩子及母亲得病｝＝0.4。求：母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。分别表示孩子、母亲及父亲1,2,3iAi解以得病，由题设有：1213120.6,|0.5,|0.4,PAPAAPAAA123PAAA121312||PAPAAPAAA121312|1|PAPAAPAAA0.60.510.40.18求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率1213120.6,|0.5,|0.4,PAPAAPAAA例5甲乙丙三厂的次品率依次为1/10,1/15与1/20.此产品库房现存各5,3,2箱.任开此10箱的一箱任取一产品.求所取之品恰为正品的概率.解以Ai(i=1,2,3)依次表取品来自甲乙丙厂，以B表取品为正品,则所求的概率即()PB123()PBABABA123()()()PBAPBAPBA112233()(|)()(|)()(|)PAPBAPAPBAPAPBA5931421910101015102092100设B1，B2，…Bn是某随机试验的样本空间Ω的一个划分，且P(Bi)≠0，i=1，2，…n。那么，对该随机试验中的任何事件A，都将有P（A）=。()(|)1niiiPBPAB划分：事件对立概念的延伸;,,,,;;112ijniiBBΦijnijB同时三、全概率公式说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.A1B2B3BnB1nBEx1.人们为了了解一支股票未来一定时期内的价格变化，往往会去分析影响股价的基本因素，如利率的变化。现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率.Ex2.甲乙两选手进行乒乓球单打比赛.甲先发球，甲发球成功后，乙回球失误的概率为0.3；若乙回球成功，甲回球失误的概率为0.4；若甲回球成功，乙再次回球失误的概率为0.5，试计算这几个回合中乙输掉一分的概率.Ex1.人们为了了解一支股票未来一定时期内的价格变化，往往会去分析影响股价的基本因素，如利率的变化。现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率.解记A为事件“利率下调”，记B为事件“股价上涨”,由题意可知()PB()PABAB()60%,()40%PAPA(|)80%,(|)40%PBAPBA所求的概率即()60%,()40%PAPA(|)80%,(|)40%PBAPBA()PB()PABAB所求的概率即()()PABPAB()(|)()(|)PAPBAPAPBA.....06080404064解记A为事件“利率下调”，记B为事件“股价上涨”,则所求的概率即()PB()PABAB()60%,()40%PAPA(|)80%,(|)40%PBAPBA()60%,()40%PAPA(|)80%,(|)40%PBAPBA()()PABPAB()(|)()(|)PAPBAPAPBA.....06080404064Ex2.甲乙两选手进行乒乓球单打比赛.甲先发球，甲发球成功后，乙回球失误的概率为0.3；若乙回球成功，甲回球失误的概率为0.4；若甲回球成功，乙再次回球失误的概率为0.5，试计算这几个回合中乙输掉一分的概率.解记A表示甲回球失误，Bi(i=1,2)表示乙第i次回球失误，则由题意可知1()0.3,PB1(|)0.4,PAB21(|)0.5PBBA112()PBBAB所求的概率为P(乙输掉1分)解记A表示甲回球失误，Bi(i=1,2)表示乙第i次回球失误，则由题意可知1()0.3,PB1(|)0.4,PAB21(|)0.5PBBA112()PBBAB所求的概率为P(乙输掉1分)112()()PBPBAB11121()()(|)(|)PBPBPABPBAB.....031030605051例6甲乙丙三厂的次品率依次为1/10,1/15与1/20.此产品库房现存各5,3,2箱.任开此10箱的一箱任取一产品.若所取之品恰为正品,求其来自甲厂的概率.解仍以Ai(i=1,2,3)依次表取品来自甲乙丙厂，以B表取品为正品,则所求的概率即1(|)PAB1()()PBAPB11123()(|)()PAPBAPBABABA11112233()(|)()(|)()(|)()(|)PAPBAPAPBAPAPBAPAPBA591010593142191010101510204592设B1，B2，…Bn是某随机试验的样本空间Ω的一个划分，且P(Bi)≠0，i=1，2，…n。那么，对该随机试验中的任何事件A，只要P(A)≠0，就必有()(|)()iiPABPBAPA1()(|)()(|)iinjjjPBPABPBPAB四、Bayes公式Bayes公式：集乘法公式与全概率公式于一身的公式Ex.某地区患有H1N1的人占0.005，患者对一种试验的反应是阳性的概率为0.95，正常人对此试验反应为阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问：此人为H1N1患者的概率为多大？解以A表示此人为H1N1患者，以B表示对试验反应为阳性,则所求的概率即(|)PAB()()PBAPB()(|)()PAPBAPABAB()(|)()(|)()(|)PAPBAPAPBAPAPBA0.0050.9510.66%0.0050.950.9950.04一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.