1.3 条件概率与贝叶斯公式

§1.3条件概率与贝叶斯公式1.3.1条件概率与乘法公式1.3.2全概率公式与贝叶斯公式实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率，记为(|)PBA，这种概率一般不同于()PB例1一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）？解观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间={(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女)}．设A={两个小孩中至少有一个男孩}，B={两个小孩中至少有一个女孩}，C={一个男孩子一个女孩}，从而例1一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的）？解B={(女,女),(男,女),(女,男)}.显然，P(A)=P(B)=3/4。现在B已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的缩小到现在的B=B，而事件相应地缩小到C={(男,女)，(女,男)}，因此A={(男,男),(男,女),(女,男)}，C={(男,女),(女,男)}.22/4()(|)33/4()PABPABPB()pA定义1设A，B为随机试验E的两个事件，且P(A)＞0，则称1.3.1条件概率与乘法公式为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.注：条件概率与普通概率有相类似的性质：()(|)()PABPBAPA(1)若BC＝Φ，则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A).(2)(|)1(|).PBAPBA条件概率的性质1非负性0(|)1,PAB2规范性(|)0,(|)1,PBPB3可加性121212(|)(|)(|),.PAABPABPABAA其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等条件概率同样具备.(1)在缩减的样本空间A中求B的概率，就得到P(B|A).32)|(AABnnABP(2)在Ω中,先求P(AB)和P(A),在按定义计算P(B|A))()()|(APABPABP326.04.0计算条件概率有两种方法:例2设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事件“两颗骰子的点数之和为4”，求解一以(i,j)表示两颗骰子的点数，则样本空间于是所求概率为()1361(|),()6366PABPABPB(|),(|).PABPAB一共有36个事件。且B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.A={(1,3),(2,2),(3,1)}，{(2,2)},{(1,3),(3,1)}ABAB()2361(|).()303615PABPABPB例2设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事件“两颗骰子的点数之和为4”，求解二当B发生时，样本空间缩减为于是，(|),(|).PABPAB在新样本空间B中，{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}B{(2,2)},A1(|).6PAB当于是，在新样本空间BB{(1,3),(3,1)},AB21(|).3015PAB发生时，样本空间缩减为B中，例设某种动物由出生后活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？解设A={活到20岁}，B={活到25岁}，则P(A)=0.8,P(B)=0.4.于是所求概率为由于AB，有AB=B，因此P(AB)=P(B)=0.4，()0.4(|)0.5.()0.8PABPBAPA例甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.解设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}，P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12，则()0.12(|)0.67,()0.18PABPABPB()0.12(|)0.60,()0.2PABPBAPA例一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A=“从盒中随机取到一只红球”60An40ABn32)|(AABnnABPB=“从盒中随机取到一只新球”解:或10060)(AP10040)(ABP)()()|(APABPABP326.04.0定理1.3.1乘法公式若Ｐ(B)0,则P(AB)=P(B)·P(A|B)推广若P(A1A2…An-1)0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An｜A1A2…An-1).若Ｐ(A)0,则P(AB)=P(A)·P(B|A)乘法公式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).上面两式都称为乘法公式，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率.例一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）(1)已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的概率；(2)已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的概率。解设Ai=“第i次取到的是黑球”(i=1,2)92)|()1(12AAP(2)由于151)(2102321AAAAP)()()(21212AAPAAPAP9210393107103例一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）(1)已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的概率；(2)已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的概率。解设Ai=“第i次取到的是黑球”(i=1,2)92)()()|(22121APAAPAAP所以(2)由于151)(2102321AAAAP)()()(21212AAPAAPAP9210393107103例一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率．解设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}，i=1,2,3，则有A=A1A2A3．由题意得121(),(|),bbcPAPAAababc故cbacbcbacbbabAP22)(3122(|),2bcPAAAabc123().PAAA该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型．上述概率显然满足不等式P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2).这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大．所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型．引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．解设A1＝从甲盒取出2个红球;A2＝从甲盒取出2个白球;A3＝从甲盒取出1个白球1个红球;B=从乙盒取出2个红球;则A1,A2,A3两两互斥,且A1∪A2∪A3＝,所以B=B＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B,P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B)=P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)1.3.2全概率公式与贝叶斯公式引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．解B=B＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B,P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B)=P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)22112233322222222257575703.70CCCCCCCCCCCC思考：这种解法是否可一般化？1.3.2全概率公式与贝叶斯公式定义1.3.2设事件Ａ1,Ａ2,…,Ａn为样本空间的一组事件。如果(1)AiAj=（i≠j）;则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一个划分。1.完备事件组（样本空间的一个划分）niiA1(2)A1A2A3An……例如上例中的Ａ1＝从甲盒取出2个白球，Ａ2＝从甲盒取出2个红球，Ａ3＝从甲盒取出1个白球1个红球，就构成了一个完备事件组。2.全概率公式定理设试验E的样本空间为Ω，设事件A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)0(i=1,2,…,n).则对任意事件B，有1()()(|).niiiPBPAPBAA1A2A3An……B121()(),niniBBABABABAB111()()()()(|).nnniiiiiiiPBPABPABPAPBA证明因为AiAj=(i≠j)按概率的可加性及乘法公式有,().ijABABij1,niiA例设袋中有12个球,9个新球,3个旧球.第一次比赛取3球,比赛后放回,第二次比赛再任取3球,求第二次比赛取得3个新球的概率.3.全概率公式的应用如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完备事件组。解Ai=第一次比赛恰取出i个新球（i=0,1,2,3)；B=求第二次比赛取得3个新球．显然A0,A1,A2,A3构成一个完备事件组，由全概率公式得：例设袋中有12个球,9个新球,3个旧球.第一次比赛取3球,比赛后放回,第二次比赛再任取3球,求第二次比赛取得3个新球的概率.3.全概率公式的应用如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完备事件组。解30)|()()(iiiABPAPBP33123213333993893796333333331212121212121212.CCCCCCCCCCCCCCCCCC例1播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。解设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为B1，B2，B3，B4，则它们构成样本空间的一个划分，用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式41()()(|)iiiPAPBPAB95.5%0.52%0.151.5%0.11%0.050.4825.练习1有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他迟到的概率．解设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝它迟到。易见：A1,A2,A3,A4构成一个完备事件组，由全概率公式得41)|()()(iiiABPAPBP=0.3×0.25＋0.２×0.3＋0.１×0.1＋0.4×0=0.145。练习2两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？解令B=取到的零件为合格品，