1.2.2同角三角函数的基本关系

1.2.2同角三角函数的基本关系人教版高中数学必修41.任意角的正弦、余弦、正切函数的定义：2.三角函数线：MP=sinα，OM=cosα，AT=tanα.P(x,y)OxyMATsinycosxtan(0)yxx复习回顾对于一个任意角α，sinα，cosα，tanα是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据．问题情境如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？POxyM1221MPOM22sincos1合作探究1那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？OxyPP平方关系22sincos1成立sinα，cosα，tanα满足什么关系？成立的条件是多么？商数关系sinycosxtan(0)yxxsintancos()2akkZ合作探究2同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.平方关系和商数关系文字语言描述：22(1)sincos1sin(2)tancos1.已知且为第三象限角，求的值.4cos,5sin,tan35342.化简：(1)costan;222cos1(2).12sinsin1试一试练一练3.求证：222222sinsinsinsincoscos1.例1已知,求，的值.3sin5costan解：若α是第三象限角，则，.4cos53tan4若α是第四象限角，则，.4cos53tan422sincos1由得222316cos1sin1()525因为所以是第三或第四象限角.sin0,sin1,典例精讲想一想练一练已知求的值.tan3,sin,cos当是第二象限角时，31sin,cos;22当是第四象限角时，31sin,cos;22解：由得，tan322sin3,cossincos121cos4因为tan30,所以是第二或四象限角.例2：求证cos1sin.1sincosxxxx证法1：由知所以于是cos0,xsin1,x1sin0,x左边cos(1sin)(1sin)(1sin)xxxx2cos(1sin)1sinxxx2cos(1sin)cosxxx1sincosxx=右边证法2：(1sin)(1sin)xx221sincosxxcoscosxx由于所以1sin0,cos0,xxcos1sin.1sincosxxxx从本题可以看出，证明一个三角恒等式的方法多种多样.同学们能总结一下吗？例2：求证cos1sin.1sincosxxxx证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。想一想练一练求证：2212sincos1tan1.;cossin1tanxxxxxx22222.tansintansin.1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高.课堂小结数学思想方法：数形结合、转化化归、分类讨论作业：《学法大视野》课时作业.谢谢！敬请指导！