2017中考数学几何压轴题(辅助线专题复习)

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中考压轴题专题几何(辅助线)精选1.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,DE垂直平分AC,垂足为O,AD∥BC,且AB=3,BC=4,则AD的长为.精选2.如图,△ABC中,∠C=60°,∠CAB与∠CBA的平分线AE,BF相交于点D,求证:DE=DF.精选3.已知:如图,⊙O的直径AB=8cm,P是AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC.(1)若∠ACP=120°,求阴影部分的面积;(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M,∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出∠CMP的度数。DABCEF精选4、如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点O是斜边AB上一动点,以OA为半径作⊙O与AC边交于点P,(1)当OA=时,求点O到BC的距离;(2)如图1,当OA=时,求证:直线BC与⊙O相切;此时线段AP的长是多少?(3)若BC边与⊙O有公共点,直接写出OA的取值范围;(4)若CO平分∠ACB,则线段AP的长是多少?.精选5.如图,已知△ABC为等边三角形,∠BDC=120°,AD平分∠BDC,求证:BD+DC=AD.ECADB精选6、已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.(第6题图)(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.①求证:△OCP∽△PDA;②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.精选7、如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,∠EDF=60°,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.(1)继续旋转三角形纸片,当CE≠AF时,如图2小芳的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系;(3)连EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?精选8、等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点A、点B分别是x轴、y轴两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E;(1)如图(1),若A(0,1),B(2,0),求C点的坐标;(2)如图(2),当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:∠ADB=∠CDE(3)如图(3),在等腰Rt△ABC不断运动的过程中,若满足BD始终是∠ABC的平分线,试探究:线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系,并说明理由.精选9.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线1l、2l、3l、4l上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h、2h、3h123(000)hhh,,.(1)求证:31hh;(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:22121()Shhh;(3)若12312hh,当1h变化时,说明正方形ABCD的面积S随1h的变化情况.l1l2l3l4h3h2h1ACDB第题图参考答案精选1解:∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC===5,∵DE垂直平分AC,垂足为O,∴OA=AC=,∠AOD=∠B=90°,∵AD∥BC,∴∠A=∠C,∴△AOD∽△CBA,∴=,即=,解得AD=.故答案为:.精选2证明:在AB上截取AG,使AG=AF,易证△ADF≌△ADG(SAS).∴DF=DG.∵∠C=60°,AD,BD是角平分线,易证∠ADB=120°.∴∠ADF=∠ADG=∠BDG=∠BDE=60°.易证△BDE≌△BDG(ASA).∴DE=DG=DF.精选3、解:(1)连接OC.∵PC为⊙O的切线,∴PC⊥OC.∴∠PCO=90度.∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA,∴∠A=∠ACO=30度.∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC=;(2)∠CMP的大小不变,∠CMP=45°DABCEFG由(1)知∠BOC+∠OPC=90°∵PM平分∠APC∴∠APM=∠APC∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)=45°.精选4、解:(1)在Rt△ABE中,.(1分)过点O作OD⊥BC于点D,则OD∥AC,∴△ODB∽△ACB,∴,∴,∴,∴点O到BC的距离为.(3分)(2)证明:过点O作OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F,∵△OEB∽△ACB,∴∴,∴.∴直线BC与⊙O相切.(5分)此时,四边形OECF为矩形,∴AF=AC﹣FC=3﹣=,∵OF⊥AC,∴AP=2AF=.(7分)(3);(9分)(4)过点O作OG⊥AC于点G,OH⊥BC于点H,则四边形OGCH是矩形,且AP=2AG,又∵CO平分∠ACB,∴OG=OH,∴矩形OGCH是正方形.(10分)设正方形OGCH的边长为x,则AG=3﹣x,∵OG∥BC,∵△AOG∽△ABC,∴,∴,∴,∴,∴AP=2AG=.(12分)精选5、证法1:(截长)如图,截DF=DB,易证△DBF为等边三角,然后证△BDC≌△BFA即可;证法2:(截长)如图,截DF=DC,易证△DCF为等边三角,然后证△BDC≌△AFC即可;证法3:(补短)如图,延长BD至F,使DF=DC,此时BD+DC=BD+DF=BF,易证△DCF为等边△,再证△BCF≌△ACD即可.证法4:(四点共圆)两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆.设AB=AC=BC=a,根据(圆内接四边形)托勒密定理:CD·a+BD·a=AD·a,得证.FFF精选6、解:(1)如图1,①∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得:AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO.∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C,∠APD=∠POC.∴△OCP∽△PDA.②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,∴====.∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.∵AD=8,∴CP=4,BC=8.设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x.在Rt△PCO中,∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,∴x2=(8﹣x)2+42.解得:x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.(2)如图1,∵P是CD边的中点,∴DP=DC.∵DC=AB,AB=AP,∴DP=AP.∵∠D=90°,∴sin∠DAP==.∴∠DAP=30°.∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°,∴∠OAB=30°.∴∠OAB的度数为30°.(3)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2.∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.∴∠APB=∠MQP.∴MP=MQ.∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴PE=EQ=PQ.∵BN=PM,MP=MQ,∴BN=QM.∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF.在△MFQ和△NFB中,.∴△MFQ≌△NFB.∴QF=BF.∴QF=QB.∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°.∴PB==4.∴EF=PB=2.∴在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2.精选7、解:(1)DF=DE.理由如下:如答图1,连接BD.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB.又∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,∠ADB=60°,∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°,∴∠ADF=∠BDE.∵在△ADF与△BDE中,,∴△ADF≌△BDE(ASA),∴DF=DE;(2)DF=DE.理由如下:如答图2,连接BD.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB.又∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,∠ADB=60°,∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°,∴∠ADF=∠BDE.∵在△ADF与△BDE中,,∴△ADF≌△BDE(ASA),∴DF=DE;(3)由(2)知,△ADF≌△BDE.则S△ADF=S△BDE,AF=BE=x.依题意得:y=S△BEF+S△ABD=(2+x)xsin60°+×2×2sin60°=(x+1)2+.即y=(x+1)2+.∵>0,∴该抛物线的开口方向向上,∴当x=0即点E、B重合时,y最小值=.精选8、(1)解:过点C作CF⊥y轴于点F,∴∠AFC=90°,∴∠CAF+∠ACF=90°.∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴AC=AB,∠CAF+∠BAO=90°,∠AFC=∠BAC,∴∠ACF=∠BAO.在△ACF和△ABO中,,∴△ACF≌△ABO(AAS)∴CF=OA=1,AF=OB=2∴OF=1∴C(﹣1,﹣1);(2)证明:过点C作CG⊥AC交y轴于点G,∴∠ACG=∠BAC=90°,∴∠AGC+∠GAC=90°.∵∠CAG+∠BAO=90°,∴∠AGC=∠BAO.∵∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAO=90°,∴∠ADO=∠BAO,∴∠AGC=∠ADO.在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD(AAS),∴CG=AD=CD.∵∠ACB=∠ABC=45°,∴∠DCE=∠GCE=45°,在△DCE和△GCE中,,∴△DCE≌△GCE(SAS),∴∠CDE=∠G,∴∠ADB=∠CDE;(3)解:在OB上截取OH=OD,连接AH由对称性得AD=AH,∠ADH=∠AHD.∵∠ADH=∠BAO.∴∠BAO=∠AHD.∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABO=∠EBO,∵∠AOB=∠EOB=90°.在△AOB和△EOB中,,∴△AOB≌△EOB(ASA),∴AB=EB,AO=EO,∴∠BAO=∠BEO,∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO.∴∠AEC=∠BHA.在△AEC和△BHA中,,∴△ACE≌△BAH(AAS)∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2(OA+OD).精选9、(1)证:设2ADl与交于点E,BC与3l交于点F,由已知BFEDBEFD∥,∥,四边形BEDF是平行四边形,BEDF.又CDFRtABERtCDAB≌,.31hh(2)证:作44BGlDHl,,垂足分别为GH、,在RtRtBGCCHD△和△中,1809090BCGDCHBCDCDHDCH,.BCGCDH.又90BGCCHDBCCD,,2RtRtBGCCHDCGDHh△≌△,.又22222223232121()()BGhhBCBGCGhhhhhh,,222121()SBChhh.l1l2l3l4h3h2h1ACDBGEHl1l2l3l4h3h2h1ACDBFE(3)解:1221331122hhhh,,2222121111355241124455Shhhhhh,1211320010023hhhh,,,.当1205h时,S随1h的增大而减小;当12253h时,S随1h的增大而增大.

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