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正方形专题1．如图，点F是正方形ABCD边CD上的一个动点，BF的垂直平分线EM与对角线AC相交于点E，与BF相交于点M，连接BE、FE，EM=3，求证：（1）BE⊥FE；求△EBF的周长2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，∠EBF=45°，△EDF的周长为8，求正方形ABCD的边长3．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，求证：①BE=DF；②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF．4．如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G，连ED交AF于M，GC交DE于N，求证：①AF⊥DE；②AF∥CG；③CD=CM（三线合一或中垂线性质）；5．如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于N，交AB于F，连接EN、BM，求证：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S△ADN：S四边形CNFB=2：5；⑤∠ADF=∠BMF．BM=BC（这一问很好，走到直角三角形斜边中线上去了）．6．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．求证：①∠EDF=90°；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③AD2+AF2=DG•DB；④若MC=，则BF=2；7．如图，以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE，BD与EC交于点F，且DF=EF，（1）求证：∠AFD=∠AFE，（2）求∠AFD的度数8．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF．求证：①CE=CB；②四边形ABGE是等腰梯形；③AE=OE；④OF=CG．9．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E、G，连接GF，求证：①∠AGD=112.5°；②四边形AEFG是菱形；③BE=2OG．10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是BC边上一点，连结AE交BD于点F，G是AC上一点，B、G关于直线AE对称．求证：四边形BEGF为菱形，并请直接写出图中与线段AG相等的所有线段．11．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证：AF⊥FM；（2）求证：=；（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．（只让尖子生做这一问）12．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．（只让尖子生做这一问）13．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．（只让尖子生做这一问）14．如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE．（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；（2）求证：2BE=AC+CN；（3）当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．（只让尖子生做这一问）15．四边形ABCD是正方形，点E在边BC上（不与端点B、C重合），点F在对角线AC上，且EF⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG（1）若AB=7，BE=，求FG的长；（2）求证：DF=FG；（3）将图1中的△CEF绕点C按顺时针旋转，使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上（如图2），连接AE、点G仍是AE的中点，猜想BF与FG之间的数量关系，并证明你的猜想．（只让尖子生做这一问）正方形专题素材参考答案与试题解析1．（2016•南岗区模拟）如图，点F是正方形ABCD边CD上的一个动点，BF的垂直平分线EM与对角线AC相交于点E，与BF相交于点M，连接BE、FE，EM=3，则△EBF的周长是（）A．6+3B．6+6C．6﹣3D．3+3【分析】如图作EG⊥BC于G，EH⊥CD于H，先证明△EGB≌△EHF，推出△BEF是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图作EG⊥BC于G，EH⊥CD于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∵EG⊥BC，EH⊥CD，∴EG=EH，∵EM垂直平分BF，∴EB=EF，在Rt△EGB和Rt△EHF中，，∴△EGB≌△EHF，∴∠BEG=∠FEH，∴∠BEF=∠GEH，∵∠EGC=∠GCH=∠EHC=90°，∴∠GEH=90°，∴∠BEF=90°，∴EM=BM=MF=3，BE=EF=3，∴△BEF的周长为6+6，故选B．【点评】本题看成正方形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2016春•宝应县期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，∠EBF=45°，△EDF的周长为8，则正方形ABCD的边长为（）A．2B．3C．5D．4【分析】根据正方形的性质得AB=BC，∠BAE=∠C=90°，根据旋转的定义，把△ABE绕点A顺时针旋转90°可得到△BCG，根据旋转的性质得BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∠ABG=∠B=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF，得到EF=CF+AE，然后利用三角形周长的定义得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠BAE=∠C=90°，∴把△ABE绕点A顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，∴BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，∴点G在DC的延长线上，∵∠EBF=45°，∴∠FBG=∠EBG﹣∠EBF=45°，∴∠FBG=∠FBE，在△FBG和△EBF中，∴△FBG≌△EBF（SAS），∴FG=EF，而FG=FC+CG=CF+AE，∴EF=CF+AE，∵△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=8，∴AD=4；故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．3．（2016春•新泰市期末）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△AEC=S△ABC，其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．2【分析】由正方形和等边三角形的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，①正确；②正确；由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，③正确；设EC=x，由勾股定理和三角函数就可以表示出BE与EF，得出④错误；由三角形的面积得出⑤错误；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF（故①正确）．∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故③正确）．∴AC垂直平分EF．（故③正确）．设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AC=，∴AB=，∴BE=AB﹣x=，∴BE+DF=x﹣x≠x，（故④错误），∵S△AEC=CE•AB，S△ABC=BC•AB，CE＜BC，∴S△AEC＜S△ABC，故⑤错误；综上所述，正确的有①②③，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．4．（2016春•岱岳区期中）如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G，连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：①AF⊥DE；②AF∥CG；③CD=CM；④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】由△ADE≌△BAF得∠ADE=∠BAF，由此推出①正确；由四边形AGCF是平行四边形，推出②正确；可以证明CG是DM的垂直平分线，由此推出③正确；假设④成立推出∠AGM=60°，显然不可能，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，∵AE=EB=AG=DG=BF=CF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△BAF，∠ADE=∠BAF，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠BAF+∠AEM=90°，∴∠AME=90°，∴AF⊥DE，故①正确，∵AG=CF，AG∥CF，∴四边形AGCF是平行四边形，∴AF∥CG，故②正确，∵AF⊥DE，∴CG⊥DM，∵AG=GD，∴GM=GD，∴MN=DN，∴CM=CD，故③正确，若∠CMD=∠AGM，则∠AGM=∠CMD=2∠GMD，∴∠GMD=30°，∠AGM=60°，这个显然不可能，故④错误．故选A．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．5．（2015•开江县二模）如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于N，交AB于F，连接EN、BM，有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S△ADN：S四边形CNFB=2：5；⑤∠ADF=∠BMF．BM=BC其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】①本题需先根据已知条件，得出△ADF与△DCE相似，即可得出结果．②本题需先根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．③本题需先根据AF∥CD，得出CN与AN的比值，即可求出结果．④本题需先连接CF，再设S△ANF=1，即可得出S△ADN与S四边形CNFB的比值即可．⑤在△DEN和△MFB中，根据已知条件，得出△DEN与△MFB全等，即可得出结果．【解答】解：①在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，故本选项正确；②∵△ADF≌△DCE，∴DE=AF，∵AE=DE，∴AE=AF，在△ANF和△ANE中，∴△ANF≌△ANE，∴NF=NE，∵NM⊥CE，∴NE＞MN，∴NF＞MN，∴MN=FN错误，故本选项错误；③∵AF∥CD，∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，∴△DCN∽△FAN，又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正