26随机过程14(3.4)

●之前对平稳过程的讨论都是在时域上进行的.相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征.●但对许多物理和工程领域中问题,不仅要研究其在时域上的特性,还要研究其在频域内的特征,即从频率的角度来研究随机过程的统计特征.例如对信号处理、线性系统分析以及随机振动的研究.其中广泛采用的方法是频率域分析方法.四平稳过程的谱密度●频率域分析方法的重要工具是Fouier变换,它可以确定时域与频域的转换关系.●为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度.谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标.数学上它是相关函数的Fouier变换,它的物理意义是功率谱密度.●时域分析法与频域分析法相互联系,且各有优点,构成了研究平稳过程的两个重要分支.1.相关函数的谱分解定理1(维纳-辛钦定理)设{X(t),-∞t+∞}是均方连续的平稳过程,则其相关函数可以表示为1,()2XjXReFd（）020XXRF其中在（，）上非负，有界，单调不减,右连续，且F（-），F（+））（（）证明()(0)XXRR(0)0()0,()0.XXXRRF若，则则取即可(0)0XR若，则令()()(0)XXRfR()()(0)1fff则连续，非负定，且.()XR连续，非负定.所以f(τ)是某个随机变量W的特征函数,即存在分布函数G(ω),使()()=E[]()(0)jWjXXRfeedGR()(0)()jXXRRedG2(0)()1()2jXedRG()2(0)()XXRGF取1(),2jXXRedF即得（）2(0))(()XXRGF容易验证满足定理中各条件.称函数FX(ω)为平稳过程{X(t),-∞t+∞}的谱函数.1()2,jXXRedF）称（为平稳过程{X(t),-∞t+∞}相关函数的谱展开式,或谱分解式.定义如果存在函数SX(ω),使得),(XXFSd（）则称SX(ω)为平稳过程{X(t),-∞t+∞}的谱密度.定理2设{X(t),-∞t+∞}是均方连续的平稳过程,且RX(τ)绝对可积,即()XRd则FX(ω)可微,且有维纳-辛钦公式1,2()jXXeRdS（）,()jXXRedS（）()XRd证()jXeRd积分存在，并记此积分为(),jXXedSR（）()XRForier为的变换，则其逆变换为12()jXXRSed（）1,()2XjXReFd（）XR与()的谱分解式比较()()().XXXFFS可微，且并有定理结论。定理3设{Xn,n=0,±1,±2,…}是平稳时间序列,则其相关函数可以表示为1,0,1,2()XXjmedmRmF（）()020XXFRXX其中（）是在[-,+]上非负，有界，单调不减，右连续.且F（-），F（+）（）对离散参数集上的平稳时间序列,有相类似的结果.称FX(ω)为平稳时间序列{Xn,n=0,±1,…}的谱函数.称式为平稳时间序列相关函数的谱展开式,或谱()分解式.定义如果存在函数SX(ω),使得(),XXFSd（）则称SX(ω)为平稳时间序列{Xn,n=0,±1…}的谱密度.定理4设{Xn,n=0,±1,…}为平稳时间序列,且()XmRm则FX(ω)可微,且有维纳-辛钦公式1(),0,1,2,2jmXXRmeSdm（）(),jmXXmSeRm（）举例1设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,其相关函数为2(),0,XRe求{X(t),-∞t+∞}的谱密度和谱函数224()4XS谱密度解()()XXFSd谱函数2242arctan42d-2224[]4e即F举例2设{Xn,n=0,±1,…}为复随机变量序列,且2E[]0,0,1,...E[X(m)X(n)]=,,0,1,...nmnXnnm试求{Y(n),n=0,±1,±2,…}的谱密度.2{,0,1,},()l.i.m()nnnnnNkkMkkMNCnCCCXnkCXnk为一复数序列,且令Y(n)=由定理41.要证该序列为平稳序列2.说明相关函数是绝对收敛的3.利用维纳-辛钦公式计算谱密度.()()]YkkmnCXnk=E[()]0kkCXnk=E[(,)()()YRnnmYnYnm=E[]()()]kllCXnkCXnml++k=-=-E[E[()()]klklCCXnkXnml+=-2()kkmYRmCC+k=-{(),1,...}.Ynn为平稳时间序列2()kkmYmmCCRm+k=-又2mkkmCC+k=-22nlklnCCC+k=-）（()Yn存在谱密度，且为2()jmjmXXmkkmmCCSeRme+k=-（）2lkjjkllkCeCe+=-22jkkkeC举例3设X,Y是两个相互独立的实随机变量,EX=0,DX=1Y的分布函数为F(x),令(),,jtYZtXet试求{Z(t),-∞t+∞}的谱函数.()2()ZFF解因为{Z(t),-∞t+∞}是平稳过程.1(,)()(2())2jjZRttedFedF2.谱密度的物理意义21lim()2TTTPxtdtT●工程实际中,能量有限的信号x(t)称为能量型信号,可以定义它的总能量:2()xtdt当时间趋于无穷时,它的平均功率趋于零.●另一类信号x(t),其能量是无限的,但平均功率有限.即称为功率型信号.周期信号就是常见的功率信号.设有确定性信号x(t)(时间函数)在区间(-∞,+∞)上绝对可积,则x(t)的Fouier变换存在(或说x(t)具有频谱).()()jtxFxtedt1()()2jtxxtFed逆变换2(())xWxtdtt记为在(-,+)上的总能量21()()()[]2jtxWxtdtxetddtF则1[()()]2jtxFxtedtd21()2xFd221()()2(xxtParsevaldtFd即等式)()()xFxt2右边的被积式称为信号的能谱密度.说明信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分.右式也是总能量的谱表达式.()xt左边为在(-,+)上的总能量221()()2xxtdtFd即由于实际中很多信号(函数)的总能量是无限的,不满足绝对可积的条件,所以通常研究x(t)在(-∞,+∞)上的平均功率,即21lim()2TTTxtdtT为了能利用Fouier变换给出平均功率的谱表达式,构造一个截尾函数:()()0TxttTxttT令()TxtFourier则绝对可积，存在变换以及逆变换()(,)()TjtxjtTTFextdTxtdtetParseval由等式2221()()2()TTTxxtdxtdFTdtt,221li1lim()m(,)42TTxTTxtdtTTFTd21lim12(,)2xTFTTd2211lim(,)lim22()TjtxTTTxSFTextdtTTxt称（）为（）在处的功率谱密度21lim221()TjtTTTextdtd定义设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,则称1limE()2TjtTTeXtdtT2为平稳过程的功率谱密度.并记(,)()TjtXTFTeXtdt2211lim(,)lim22())xxTTTjtTSFTTTxxtetdt即（）为确定性信号(在处的功率谱密度21lim[()].2TTTEXtdtT平为过程的均功率称定理设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,若RX(τ)绝对可积,则{X(t),-∞t+∞}的谱密度就是功率谱密度.即1lim()2()TjtTTXEeXtdtTS221lim[(,)]2XTEFTT1E()2TjtTeXtdtT2证1E[()()]2TTjsjtTTeXsdseXtdtT()1()2TTjtsXTTeRtsdsdtT)utsvts(令22(1)()2TjwuXTueRuduT21)()(),220TXXTRRTT（(令lim()())TXXRR则()XjwuTeRudu1lim()()2TjtTTXEeXtdTSt2即lim()()XjwuTjwuXTeRudueRudu()XS3.谱密度的性质和计算定理1平稳过程的谱密度是非负实函数.特别实平稳过程的谱密度是非负实偶函数.证明1()lim()2TjtXTTSEeXtdtT2()XS为非负实函数.特别对实平稳过程,()jXXSdRe（）()XjedR()()XXRR有)()XjdRe(XS（-）XXSS（-）（）定理20()XXSRd（）1(0)2XXRSd（）平均功率说明00以上是，时,两对特殊的Fourier变换.第一式说明功率谱密度曲线下的总面积(平均功率)等于平稳过程的均方值.第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积.谱密度的计算●广义积分-可利用复变函数中的留数定理●利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等121(),,...,()2Res[(),]nnkkCfzDzzzfzdzjfzz函数在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则留数定理●利用已知的一些性质计算，P122是R(z)的分母在上半复平面的零点。若假设R(x)是分母无实零点的有理函数，且分子分母没有相同的零点，而分母的幂次比分子的幂次至少高一次，则有()2Re[(),]jazjaxkkeRxdxiseRzzkzkz是R(z)分母的n重零点，则(1)1Re[(),]lim[()()](1)!kjazjaznnkkzzseRzzeRzzznFourier变换的性质●线性性质●位移性质●微分性质1212[()()][()][()]ftftftftFFF00[()][()]jtftteft