2012年高考数学总复习第一轮函数的奇偶性与最值

第5讲│函数的奇偶性和周期性第5讲函数的奇偶性和周期性知识梳理1．函数的奇偶性(1)函数奇偶性的定义如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有__________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有__________，则称f(x)为偶函数．如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是________，又是________．(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤①首先确定______________，并判断其定义域是否关于______对称；②确定______与______的关系；③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．第5讲│知识梳理f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)奇函数偶函数函数的定义域原点f(－x)f(x)第5讲│知识梳理原点y轴偶函数偶函数奇函数0偶奇(3)函数奇偶性的简单性质①奇函数的图像关于______对称；偶函数的图像关于______对称；②在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为________；两个偶函数之积(商)也是________；一奇一偶函数之积(商)为________(注：取商时应使分母不为0)；③奇(偶)函数有关定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)；④若函数y＝f(x)是奇函数且0是定义域内的值，则f(0)＝____.(4)一些重要类型的奇偶函数①函数f(x)＝ax＋a－x(a0且a≠1)为____函数，函数f(x)＝ax－a－x(a0且a≠1)为____函数；②函数f(x)＝loga1－x1＋x(a0，且a≠1)为奇函数；③f(x)＝loga(x＋x2＋1)(a0，且a≠1)为奇函数．第5讲│知识梳理f(x＋T)＝f(x)最小正周期2．周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有__________，则称f(x)为周期函数，其中T称为f(x)的周期．若T中存在一个最小的正数，则称它为f(x)的____________．(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作fx＋T2＝fx－T2；②f(x)的周期为T，则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周期为______．Tw要点探究►探究点1判断函数的奇偶性第5讲│要点探究例1判断下列函数的奇偶性：(1)y＝x2－2x2；(2)y＝x2－1＋1－x2；(3)y＝(x－1)1－x1＋x；(4)y＝lg1－x2|x－2|－2[思路]从定义域入手，在定义域关于原点对称的情况下，判断f(x)与f(－x)的关系．第5讲│要点探究[解答](1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x2－2－x2＝x2－2x2＝f(x)，∴函数y＝x2－2x2是偶函数；(2)由x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，∴函数的定义域为{1，－1}，关于原点对称，又y＝x2－1＋1－x2＝0，∴f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴函数y＝x2－1＋1－x2既是奇函数又是偶函数；(3)由1－x1＋x≥0，得－1x≤1，∴函数的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，∴函数y＝(x－1)1－x1＋x既不是奇函数又不是偶函数；(4)由1－x20|x－2|－2≠0，得－1x0或0x1，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，又|x－2|＝2－x，∴y＝lg1－x2|x－2|－2＝－lg1－x2x，∴f(－x)＝lg1－－x2x＝lg1－x2x＝－f(x)，∴函数y＝lg1－x2|x－2|－2为奇函数．第5讲│要点探究[点评]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系；若定义域关于原点对称，且函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)．第5讲│要点探究例2(1)判断函数f(x)＝lnx＋1－xx0，0x＝0，ln1－x＋－xx0的奇偶性．[思路]分段函数的奇偶性，要将x在每一段的情况都要验证，然后在整个定义域内得出f(－x)与f(x)的关系．第5讲│要点探究[解答]需要分三种情况讨论：①设x0，∴－x0，∴f(－x)＝ln(1＋x＋x)＝ln1x＋1－x＝－ln(x＋1－x)＝－f(x)；②设x0，∴－x0，∴f(－x)＝ln(－x＋1－－x)＝ln11－x＋－x＝－ln(1－x＋－x)＝－f(x)；③当x＝0时，f(x)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数第5讲│要点探究[思路]对x1，x2合理赋值，利用函数的性质和已知条件，判断f(x)与f(－x)的关系．(2)[2010·保定模拟]已知函数y＝f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意x1，x2∈R，都有f(x1·x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，则对函数f(x)，下列判断正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)为非奇非偶函数D．f(x)既是奇函数又是偶函数[答案]A[解析]令x1＝x2＝0，得f(0)＝0，令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，令x1＝x，x2＝－1，得f(－x)＝－f(x)＋0，因此f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．第5讲│要点探究[点评](1)分段函数的奇偶性的判断和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下的不同形式以及题目之间的相互关系，一定要注意求f(－x)时，将－x代入函数中的哪一段表达式中．(2)抽象函数的奇偶性的判断，一般需要结合已知条件，对抽象函数进行恰当的变形，赋予恰当的数值，经过运算和推理，然后得出结论．►探究点2函数奇偶性的性质及其应用例3[2010·广州模拟]已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式第5讲│要点探究[解答]设x0，则－x0，∴f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1；当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，∴f()x＝x2－x－1()x0，0x＝0，－x2－x＋1()x0.第5讲│要点探究[2010·江苏卷]设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.[思路]利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方程．[答案]－1第5讲│要点探究[解析]本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在高考考纲中为B级要求．设g(x)＝ex＋ae－x，x∈R，由题意分析g(x)应为奇函数(奇函数×奇函数＝偶函数)，∵x∈R，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，所以a＝－1[点评]已知区间上函数的解析式求给定区间上的函数解析式，一般都要借助于函数的奇偶性或周期性，要注意最后的解析式一定是f(x)而不能是其他形式．►探究点3函数的周期性第5讲│要点探究[思路]利用已知条件，求得函数的周期，通过函数的周期性和奇偶性，将自变量的值转化为在[2,3]内，再计算例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1fx.当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝__________.第5讲│要点探究[答案]2.5[解析]由f(x＋2)＝－1fx，得f(x＋4)＝－1fx＋2＝－1－1fx＝f(x)，因此函数f(x)是以4为周期的函数，又f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)，又函数f(x)是偶函数，因此f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.第5讲│要点探究[思路]利用已知条件所给的式子，通过变形，并结合奇偶函数与周期函数定义判断(2)[2010·南昌模拟]定义在R上的函数f(x)不是常数函数，满足f(x－1)＝f(x＋1)，f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)()A．是奇函数也是周期函数B．是偶函数也是周期函数C．是奇函数但不是周期函数D．是偶函数但不是周期函数第5讲│要点探究[答案]B[解析]由f(x－1)＝f(x＋1)，知f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，且用x－1代替f(1＋x)＝f(1－x)中的x，得f(x)＝f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数．故f(x)是偶函数也是周期函数．第5讲│要点探究[点评](1)通过函数的周期性既可进行解析式的代数变形，又可进行图像的几何变换，解题时要注意这两方面的应用；(2)判断一个函数是否是周期函数，主要通过定义来进行，步骤为：①先探求周期T，②证明f(x＋T)＝f(x)对任意属于定义域内的x都成立．►探究点4函数性质的综合运用第5讲│要点探究[思路](1)利用函数周期性的定义证明；(2)要求某一区间上的函数解析式，一般把x设在该区间上，然后利用奇偶性或周期性，转化到已知的区间上，利用已知的解析式求未知的解析式；(3)解决周期函数的有关问题，一般转化为解决一个周期内的有关问题，然后推广到定义域范围内．例5已知函数f(x)为偶函数，且关于直线x＝1对称，当x∈[1,2]时，f(x)＝2－x.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)求x∈[－1,1]时，函数f(x)的表达式；(3)求x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z时，函数f(x)的表达式；(4)解不等式：f(x)12.第5讲│要点探究[解答](1)∵函数f(x)关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(－x)＝f(2－x)，用x代替－x，得f(x)＝f(2＋x)，∴函数f(x)是以2为周期的周期函数．(2)若x∈[－1,0]，则x＋2∈[1,2]，∴f(x＋2)＝2－(x＋2)＝－x，又f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)＝－x，又令x∈(0,1]，－x∈[－1,0)，∴f(－x)＝x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x，∴f(x)＝x，0＜x≤1，－x，－1≤x≤0.(3)令x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z，则x－2k∈[－1,1]，k∈Z，∴f(x－2k)＝x－2k，2k＜x≤2k＋1，－x＋2k，2k－1≤x≤2k，k∈Z，又f(x)＝f(x－2k)，因此f(x)＝x－2k，2k＜x≤2k＋1，－x＋2k，2k－1≤x≤2k，k∈Z.(4)当x∈[－1,1]时，f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，∵f12＝12，∴不等式可化为f(|x|)f12，∵f(x)在[0,1]为增函数，∴|x|12，解得－12x12，∴原不等式的解集为x2k－12x2k＋12，k∈Z.第5讲│要点探究[点评]周期函数的研究方法是先研究周期函数在一个周期上的性质，再将它拓展到整个定义域上，这样，可简化对函数的研究．规律总结第5讲│规律总结1．判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再将f(－x)与f(x)比较，得出结论．其中，分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性．2．利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．3．函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运用函数的奇偶性就是运用函数图像的对称性．4．要善于发现函数特征，图像特征，运用数形结合，定向转化，分类讨论的思想