2012年高考数学总复习第一轮指数函数

指数函数返回目录1.指数幂的概念(1)根式一般地,如果xn=a(a∈R,n1,且n∈N*),那么x叫做.式子叫做,这里n叫做,a叫做.(2)根式的性质naa的n次方根根式根指数被开方数返回目录①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号表示.②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示.正负两个n次方根可以合写为(a0).③()n=.④当n为奇数时,=;当n为偶数时,=|a|=⑤负数没有偶次方根.⑥零的任何次方根都是零.nananananaannaannaa(a≥0)-a(a0)返回目录2.有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是=(a0,m,n∈N*,且n1).②正数的负分数指数幂是③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义.2)有理指数幂的运算性质:①aras=(a0,r,s∈Q).②(ar)s=(a0,r,s∈Q).③(ab)r=(a0,b0,r∈Q).nmanmanmanma1==(a0,m,n∈N*,且n1).nma10sraarsrbra3.指数函数的图象与性质返回目录a10a1图象定义域值域性质(1)过定点.(2)当x0时,;当x0时,(2)当x0时,;当x0时,(3)在(-∞,+∞)上是.(3)在(-∞,+∞)上是.R(0,+∞)(0,1)y10y10y1y1增函数减函数返回目录考点1指数幂的运算化简下列各式(其中各字母均为正数):48373271021.0972(3)032221.)·b(4a)b·(-3a·ba65(2);a·b·b·a)·b(a(1)213-32-1212-3165312121-132(1)原式=(2)原式=返回目录1;babab·aba00656131212131653121612131ba2323212331361213323614abab5ab145ba45)b(aba45)b(4aba25【分析】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂、先化为分数指数幂以便用法则运算；（2）（3）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，若符合用法则进行下去，若不符合应再创设条件去求.返回目录(3)原式=10048373169100354837327641.0192532221(1)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题.(2)对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示;如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示.(3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.返回目录;ba1.04ab41(2);1)-2(-972)71(-.027)0(1)(213323-121-021231-化简下列各式:返回目录【解析】(1)原式=(2)原式=45135493101925711100027212231254ba254bbaa1004400232323232321返回目录考点2指数函数的图象已知函数（1）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出，当x取什么值时有最值.【分析】先去绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再画出其图象，然后根据图象判断其单调性、最值..y|2x|)21(【解析】（1）由函数解析式可得(x≥-2)(x＜-2),其图象分成两部分:一部分是y=(x≥-2)的图象，由下列变换可得到:y=y=;返回目录2)2(2)21()21(xx|2x|y)2()21(xx)21()2()21(x向左平移2个单位另一部分是y=2x+2(x＜-2)的图象，由下列变换可得到:y=2xy=2x+2,如图,实线部分为函数的图象.(2)由图象观察知,函数在(-∞,-2］上是增函数，在(-2,+∞)上是减函数.(3)由图象观察知,当x=-2时，函数有最大值，最大值为1，没有最小值.返回目录向左平移2个单位|2x|y)21(|2x|y)21(返回目录（1）根据函数与基本函数关系，利用图象变换（平移、伸缩、对称）作图是作函数图象的常用方法.(2)本例也可以不考虑去掉绝对值符号，而是直接用图象变换作出，作法如下:x)21(y保留x≥0部分，将它沿y轴翻折得x＜0的部分x)21(y向左平移2个单位.)21(2xy返回目录画出函数y=2|x-1|的图象，并根据图象指出此函数的一些重要性质.2x-1,x≥1,,x＜1.其图象由两部分对接而成，一是把y=2x向右平移1个单位后取x≥1的部分；二是把y=的图象向右平移1个单位后取x＜1的部分，对接处的公共点是(1,1),图象如图，作法略.y=2|x-1|=1)21(xx)21(返回目录【解析】由图象可知,函数有三个重要性质:①单调性:在(-∞,1］在［1,+∞)上单调递增;②对称性:函数图象关于直线x=1对称;③函数定义域为R,值域为［1,+∞).上单调递减，考点3指数函数的性质已知f(x)=(a0且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x∈［-1,1］时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.【分析】(1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断;(2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还可用导数解决;(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值.返回目录)aa(1aaxxx返回目录【解析】(1)函数定义域为R,关于原点对称.又∵f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)当a1时,a2-10,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,∴f(x)为增函数.当0a1时,a2-10,y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数,∴f(x)为增函数.故当a0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.)aa(1aaxxx返回目录(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,∴在区间［-1,1］上为增函数.∴f(-1)≤f(x)≤f(1).∴f(x)min=f(-1)=∴要使f(x)≥b在［-1,1］上恒成立,则只需b≤-1.故b的取值范围是(-∞,-1］.1aa11aa)aa(1aa2212返回目录1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法:(1)函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同；(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y=af(x)的值域.2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤:(1)求复合函数的定义域;(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的;(3)分层逐一求解函数的单调性;(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).返回目录若函数y=为奇函数.(1)求a的值;(2)求函数的定义域;(3)求函数的值域;(4)判断函数的单调性.只说明单调区间，不需要证明。12a12axx返回目录【解析】∵函数y=,∴y=.(1)由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0,即=0,∴=0,∴a=-.(2)∵y=,∴2x-1≠0,即x≠0.∴函数y=的定义域为{x|x≠0}.121ax12a12axx121a121axxxx2121a22112121x12121x返回目录考点4指数函数性质的综合应用已知f(x)=.(1)判断函数的奇偶性;(2)判断f(x)是定义域内的单调性，无需证明;(3)求f(x)的值域.【分析】本题是一道综合题,需利用函数的有关性质,如单调性、奇偶性等知识来解决.【解析】(1)∵f(x)的定义域为R,且f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数.xxxx10101010xxxx10101010返回目录(2)证明:证法一:f(x)=令x2x1,则f(x2)-f(x1)当x2x1时,0.又∵0,0,故当x2x1时,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),∴f(x)是增函数..1102111011010101010222xxxxxxx)110)(110(10102)11021()11021(121212222222xxxxxx12221010xx11012x11022x返回目录证法二:考虑复合函数的增减性.f(x)=∵y1=10x为增函数,∴y2=102x+1为增函数,y3=为减函数,y4=-为增函数,f(x)=为增函数.∴f(x)=在定义域内是增函数.(3)令y=f(x),由y=,解得102x=,∵102x0,∴-1y1.即f(x)的值域为(-1,1)..11021101010102xxxxx11022x11022x110212xxxxx10101010xxxx10101010yy11记住下列函数的增减性,对解(证)题是十分有用的:(1)若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数;(2)若f(x)为增(减)函数,则f(x)+k为增(减)函数;(3)若f(x),g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数.返回目录已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=.(1)求f(x)在［-1,1］上的解析式;(2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.【解析】(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=由f(0)=f(-0)=-f(0),且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.142xx.142142xxxx返回目录返回目录,x∈(0,1),x∈(-1,0)0,x∈{-1,0,1}.(2)证明:当x∈(0,1)时,f(x)=.设0x1x21,则f(x1)-f(x2)=∵0x1x21,∴-0.-10,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,1)上单调递减.∴在区间［-1,1］上,有f(x)=142xx142xx142xx.)14)(14()12)(22(1421422121122211xxxxxxxxxx22x22x212xx返回目录1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线.当0a1时,x→+∞,y→0;当a1时,x→-∞,y→0;当a1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增的速度越快;当0a1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,).3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程来求解.a14.指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象和性质受a的影响,要分a1与0a1来研究.5.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.返回目录