2012年高考数学江苏卷真题与答案(word)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{124}A，，，{246}B，，，则AB．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．3．设abR，，117ii12iab（i为虚数单位），则ab的值为．4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是．5．函数6()12logfxx的定义域为．6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．7．如图，在长方体1111ABCDABCD中，3cmABAD，12cmAA，则四棱锥11ABBDD的体积为cm3．8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为．9．如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是．10．设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xxaxfxbxx≤≤≤，，，，其中abR，．若1322ff，则3ab的值为．11．设为锐角，若4cos65，则4sin2125的值为．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．13．已知函数2()()fxxaxbabR，的值域为[0)，，若关于x的不等式()fxc的解集为(6)mm，，则实数c的值为．DABCC1D1A1B1（第7题）ABCEFD（第9题）（第4题）开始结束k←1k2－5k+40输出kk←k+1NY14．已知正数abc，，满足：4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，，则ba的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在ABC中，已知3ABACBABC．（1）求证：tan3tanBA；（2）若5cos5C，求A的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；（2）直线1//AF平面ADE．17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20ykxkxk表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）已知a，b是实数，1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数()gx的导函数()()2gxfx，求()gx的极值点；（3）设()(())hxffxc，其中[22]c，，求函数()yhx的零点个数．19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为x（千米）y（千米）O（第17题）FDCABEB1A1C11(0)Fc，，2(0)Fc，．已知(1)e，和32e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P．（i）若1262AFBF，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}na和{}nb满足：122nnnnnabanabN，．（1）设11nnnbbnaN，，求证：数列2nnba是等差数列；（2）设12nnnbbnaN，，且{}na是等比数列，求1a和1b的值．数学Ⅱ（附加题）21．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，D,E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C,使BDDC,连结,,.ACAEDE求证：.ECB.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵113-44=11-22A，求矩阵A的特征值.ABPO1F2Fxy（第19题）C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在坐标系中，已知圆C经过点2,4P，圆心为直线3sin,32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数,xy满足：11,2,36xyxy求证：518y.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.(本小题满分10分)设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时1.（1）求概率(0)p（2）求的分布列，并求其数学期望()E.23．（本小题满分10分）设集合{12}nPn，，，…，nN．记()fn为同时满足下列条件的集合A的个数：①nAP；②若xA，则2xA；③若nPxAð，则2nPxAð．（1）求(4)f；（2）求()fn的解析式（用n表示）．答案与解析1.1246,,,，2.15，3.8，4.5，5.06,，6.35，7.6，8.2，9.2，10.10，11。17250，12.43k，13.9，14.7e,。二．解答题15.解：（1）∵3ABACBABC，∴3ABACcosABABCcosB，∴3ACcosABCcosB，由正弦定理得：ACBCsinBsinA，∴3sinBcosAsinAcosB，∴3tanBtanA（2）∵55cosC，且0C，∴255sinC，∴2tanC，∴2tanAB又∵3tanBtanA，∴23421113tanAtanBtanAtanAtanAtanAtanBtanAtanBtanA，∴1tanA或13∵3tanBtanA，∴A，B必为锐角，否则A，B同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾，∴0tanA，∴1tanA，∴4A。16.证明：（1）∵三棱柱111ABCABC是直三棱柱，∴1CCABC平面，∵ADABC平面，∴1CCAD，∵ADDE，且1DECCE，∴11ADBCCB平面，∵ADABC平面，∴11ADEBCCB平面平面。（2）∵11ADBCCB平面，11BCBCCB平面，∴ADBC，∵直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，∴ABAC，∴D是BC的中点，∵F是11BC的中点，∴1DFAA，且1DFAA，∴四边形1AAFD是平行四边形，∴1AFAD，∵1DFAAE平面，1DFAAE平面，∴1//AF平面ADE。17.解：（1）∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为221(1)(0)20ykxkxk，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标，∴令0y，则炮的射程可表示为21120kxk，∴炮的最大射程即x的最大值。由题意得0x，0k，∴2202010112120kxkmkkk，当且仅当2k时，等号成立，∴炮的最大射程是10km。（2）∵飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a，∴飞行物的坐标为32a,.，∴炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程，∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：2213.2(1)(0)20kakak，∴关于k的方程在0k上有解，∴22220640akaka有正根，∵0a，∴只需222204640aaa，∴6a，即a只需要不超过6km即可。18.解：（1）∵1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点，∴1和1是方程2'()320fxxaxb的两个根，由韦达定理得：2113a，113b，∴0a，3b。（2）∵函数()gx的导函数()()2gxfx，∴令232()()23212120gxfxxxxxxxx，解得11x，22x。①当1xx时，0g'x，当1xx时，0g'x，∴11x不是gx的极值点。②当2xx时，0g'x，当2xx时，0g'x，∴12x是gx的极大值点。（3）令fxt，则hxftc，讨论关于x的方程22fxd,d,的根的情况。当2d时，由（2）得2fx的两个不同的根为1和2，注意到fx是奇函数，所以2fx的两个不同的根为1和2。当2d时，因为1220fdfdd，1220fdfdd，所以2112,,,都不是fxd的根，由（1）知311f'xxx。当2x,时，0f'x，于是fx是单调递增函数，从而22fxf，此时fxd无实根，同理，fxd在2,上无实根。当12x,时，0f'x，于是fx是单调递增函数，又10fd，20fd，yfxd的图像不间断，所以fxd在12,内有唯一实根，同理，fxd在21,内有唯一实根。当11x,时，0f'x，故fx是单调减函数，又10fd，10fd，yfxd的图像不间断，所以fxd在11,内有唯一实根。由上可知，当2d时，fxd有两个不同的根1x，2x满足11x，22x；当2d时，fxd有三个不同的根3x，4x，5x满足2345ix,i,,；现考虑函数yhx的零点：当2c时，ftc有两个根12t,t满足11t，22t，而1fxt有三个不同的根，2fxt有两个不同的根，故yhx有5个零点；当2c时，ftc有三个不同的根345t,t,t满足2345it,i,,，而345ifxti,,有三个不同的根，故yhx有9个零点；综上所述，当2c时，函数yhx有5个零点；当2c时，函数yhx有9个零点。19．解：（1）∵椭圆的方程为22221(0)xyabab，(1)e，和32e，都在椭圆上，∴带入椭圆的方程得：222222211321eabeab，由cea及222abc解得：22a，21b，21c，∴椭圆的方程为2212xy。（2）（i）设直线1AF的斜率为k，∵直线1AF与直线2BF平行，∴直线2BF的斜率也为k，∵左、右焦点的坐标分别为1(10)F，，2(10)F，，∴直线1AF的方程为1ykx，直线2BF的方程为1ykx，设11Ax,y，22Bx,y，∵A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，∴10y，20y，由22121xyykx得22221220kykyk，∴2122221kkkyk