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第二节古典概型第二节古典概型考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．古典概型如果一个试验满足下面两个特征：(1)_________：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)_________：每个基本事件发生的可能性是均等的．那么我们称这样的试验为古典概型．有限性等可能性2．基本事件的概率一般地，对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两互斥的，所以有P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)＝____________________＝P(Ω)＝1.又因为每个事件发生的可能性相等，即P(A1)＝P(A2)＝…＝P(An)，代入上式得n·P(A1)＝1，即P(A1)＝1n.所以，在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为1n.P(A1＋A2＋…＋An)3．古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.思考感悟如何确定一个试验是否为古典概型？提示：古典概型具备的特征：有限性和等可能性．课前热身1．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则该试验的基本事件总数个数为__________．答案：6解析：基本事件总数为3种，甲被选中的种数为2种，故P＝23.答案：232．(2011年无锡调研)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________．3．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为________．解析：一枚硬币连掷2次可能出现正正、反反、正反、反正四种情况，而只有一次出现正面的有两种，P＝24＝12.答案：124．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是__________．答案：12考点探究·挑战高考古典概型的有关概念考点突破弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分．而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性．例1(2010年高考湖南卷)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．【思路分析】(1)依次列举；(2)观察事件的个数，利用P(A)＝nN求值．【解】(1)由题意可得，x18＝236＝y54，所以x＝1，y＝3.(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10种．设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3种，因此P(X)＝310.故选中的2人都来自高校C的概率为310.【名师点评】基本事件的查找是解题的基础，要列举出所有的基本事件，需要有基本事件的线索，要注意不重复、不遗漏．求简单的古典概型的概率求古典概型概率的步骤(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意．(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A.(3)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m.(4)利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率．并不是所有的试验都是古典概型．例如，在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否“发芽”，这个试验的基本事件空间为{发芽，不发芽}，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的．例2一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．【解】(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316.故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.【名师点评】解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么．然后分清基本事件总数n与事件A所含的基本事件数m，因此要注意以下几个方面：①明确基本事件是什么；②试验是否是等可能性的试验；③基本事件总数是多少；④事件A包含多少个基本事件．变式训练1袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：(1)A：取出的2个球都是白球；(2)B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球．解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15种．(1)从袋中的6个球中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的2个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的2个球中1个是白球，另1个是红球的概率为P(B)＝815.复杂事件的古典概型求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义，必要时将所求事件转化为彼此互斥事件的和，或者是先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．例3现有8名广州亚运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．【思路分析】(1)列举出所有基本事件和“A1被选中”包含的基本事件，然后代入公式计算．(2)先求B1和C1全被选中的概率．【解】(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果如下：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．“A1恰被选中”这一事件记为事件M，则事件M由6个基本事件组成，即(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，因而P(M)＝618＝13.(2)用“N”表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N－表示“B1、C1全被选中”这一事件；由于事件N－由3个基本事件组成，即(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，所以P(N－)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N－)＝1－16＝56.【名师点评】解答本题(2)易出现将“B1、C1不全被选中”认为是“B1，C1只选其一”，出现此错误的原因是将数学中的“不全”与生活中的“不全”等同，没有深刻理解否定词“不”的含义．变式训练2甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，并结束游戏．(1)求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率；(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率．解：(1)掷一枚硬币三次，列出所有可能情况共8种：(上上上)，(上上下)，(上下上)，(下上上)，(上下下)，(下上下)，(下下上)，(下下下)；其中甲得2分、乙得1分的情况有3种，故所求概率P＝38.(2)在题设条件下，至多还要2局，情形一：在第四局，硬币正面朝上，则甲积3分、乙积1分，甲获胜，概率为12；情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬币正面朝上，则甲积3分、乙积2分，甲获胜，概率为14.由概率的加法公式，甲获胜的概率为12＋14＝34.方法感悟方法技巧1．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．2．事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．失误防范古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，它们是否是等可能的．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的江苏高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易或中档题．以考查基本概念、基本运算为主．预测2012年江苏高考，古典概型仍然是考查的重点，同时应注意古典概型与统计结合命题．规范解答例(本题满分14分)(2010年高考陕西卷)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．【解】(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.2分(2)有统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝3570＝0.5，故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率p1＝0.5.6分(3)样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：10分故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，12分至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝915＝35.14分【名师点评】本题在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，易出现标准不统一而导致结果错误的情况．名师预测1．有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球