6.3.5平面向量数量积的坐标表示

一.复习引入新课:1.平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算率.________________.ab||||cosθab(1)............aabb交换率(2)()()()......aaabbb结率合(3)()............aabccbc分配率3.重要结论:(1)_________.ab||__________.a(2)___________.aa(3)||____||||.aabb设a、b都是非零向量,则0ab2||aaa≤2a我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用呢？的坐标表示和baba在直角坐标系中，已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），如何用a与b的坐标表示abYA（x1,y1）aB(x2，y2)bOij∵a=x1i+y1j，b=x2i+y2jX①_____②______③______④_____iijjjiij单位向量i、j分别与x轴、y轴方向相同，求1100jyixjyixba22112211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.1212abxxyy在坐标平面xoy内，已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则ab求·例1:已知＝(1,√3)，＝(–2,2√3),abba解：·＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;ab1、平面向量数量积的坐标表示练习：则),4,3(),1,3(),2,1(cba____)(cba(13,26)；或aaaaaa2)1(221221221122222))),,(),2,),,()1(yyxxAByxByxAyxayxayxa（（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模2、向量的模和两点间的距离公式用于计算向量的模22,,axyaxy(1).设则.,,,,2212212211yyxxayxyxa那么点的坐标分别为的有向线段的起点和终如果表示向量即平面内两点间的距离公式．求||,||例1:已知＝(1,√3)，＝(–2,2√3),abab(3,3)ab||ab22||3(3)1223ab22||1(3)2a22||(2)(23)4b3、两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),,(),,222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中则，夹角为与且（设向量夹角公式的坐标式：121222221122cosxxyyxyxy例1:已知a＝(1，√3)，b＝(–2，2√3),求a与b的夹角θ.cos＝＝＝,42×4a·bab12θ∴＝60ºθ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则ab0baba垂直0),,(),,21212211yyxxbayxbyxa则（设4、两向量垂直的坐标表示0abab例2：已知a＝(5,0)，b＝(–3.2,2.4),求证：(a＋b)⊥b.证明：∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42＝0∴(a＋b)⊥b12120xxyy与垂直：ab＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则ab练习：且起点坐标为(1,2)终点坐标为(x,3x),则,),4,3(abab______b41155（，）尝试：已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2),求:(1)a·b；(2)(a＋2b)·(a－b)；(3)|a|2－4a·b.(1)2；（2）17；（3）－3.例题讲解例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.1,123,12AB1,123,12AC03131ACABACAB∴△ABC是直角三角形向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一.(1,),32222axbabababab已知（-，1）(1)当x为何值时，＋与平行？(2)当x为何值时，＋与垂直？2332或）（311）（例1例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形三角形)1,1()23,12(AB:证明)3,3()25,12(AC031)3(1ACABACAB3ABCAB=(2,3),AC=(1,k),ABCk.例、在中，设且是直角三角形，求的值当B=90时，=0，ABBC∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=311当C=90时，=0，ACBC∴1+k(k3)=0∴k=2133综上所述213331123或或k解：当A=90时，ABAC=0,∴2×1+3×k=0∴k=2342101133131abab（）若（，），（，）则与的夹角为21231abab（）若（，），（，）则与的夹角的余弦值为（3）、已知向量a＝(λ，－2)，b＝(－3，5)，若向量a与b的夹角为钝角，求λ的取值范围.180注意：夹角为时，不满足1066(,)(,)355-+?U_______2,3,4,7,0,.abaccb则在方向上的投影为655（4）1.向量则的最大值，最小值分别是(cos,sin),(3,1)ab|2|a-b4,05．已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，t∈R.求|a＋tb|的最小值及相应的t值．24A(1,0),B(0,1),C(2,5).(1)2AB+AC()cosBAC()ABC.例、已知三角形三顶点坐标为求的模；2求；3试判断的形状32=(3,-1),=(1,3)2.abc例、求与向量和夹角相等且模为的向量的坐标4小结3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.1.a∥ba⊥b二者有着本质区别.01221yxyx02121yyxx2.若非零向量a与b的夹角为锐角（钝角），则a·b＞0（＜0），反之不成立.