正弦、余弦定理习题精选精讲

-1-正、余弦定理的五大命题热点知识点：1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．2、正弦定理的变形公式：①2sinaR，2sinbR，2sincRC；②sin2aR，sin2bR，sin2cCR；③::sin:sin:sinabcC；④sinsinsinsinsinsinabcabcCC．3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC．5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；③若222abc，则90C．正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1、ABC中，3A，BC＝3，则ABC的周长为（）A．33sin34BB．36sin34BC．33sin6BD．36sin6B2、在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．3、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定4、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（A）030（B）060（C）0120（D）01505、在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=A－223B223C－63D63-2-6、在△ABC中，若b=1，c=3，23C，则a=。7、在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.8、在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.9、△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,AC；（2）若33ABCS,求,ac.二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．1、在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形2、18.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1、在ABC中，若120A，5AB，7BC，则ABC的面积S＝_________奎屯王新敞新疆四、求值问题1、在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值．2、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cosbaCab，则tantantantanCCAB=_________。3、在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。（二.）遇险问题2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西北南东ABC30°15°图2图1ABCD-3-（三.）追击问题3、如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇．1、△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，.43cosB（Ⅰ）求cotA+cotC的值；（Ⅱ）设32BABC，求a＋c的值.易错题解析例题1在不等边△ABC中，a为最大边，如果abc222，求A的取值范围。错解：∵abcbca2222220，∴。则cosAbcabc22220，由于cosA在（0°，180°）上为减函数且cos90090°，∴°A又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。正解：由上面的解法，可得A＜90°。又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。例题2在△ABC中，若abAB22tantan，试判断△ABC的形状。错解：由正弦定理，得sinsintantan22ABAB即sinsinsincoscossinsinsin2200ABAABBAB·，∵，∴，即sincossincossinsinAABBAB22。∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。辨析：由sinsin22AB，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得sinsin22AB，∴2A＝22kB或222AkBkZ()。∵000AbkAB，，∴，则或AB2。故△ABC为等腰三角形或直角三角形。例题3在△ABC中，A＝60°，b＝1，SABC△3，求abcABCsinsinsin的值。图3ABC北45°15°-4-错解：∵A＝60°，b＝1，SABC△3，又SABC△12bcAsin，∴312csin60°，解得c＝4。由余弦定理，得abcbcA222116860coscos°13又由正弦定理，得sinsinCB6393239，。∴abcABCsinsinsin1314323239639。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得ca413，。由正弦定理，得213602393RaAsinsin°。∴abcABCRsinsinsin22393。例题4在△ABC中，c62，C＝30°，求a＋b的最大值。错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得aAbAsinsin()sin1506230°°∴aA262()sin，bA262150()sin()°又∵sinsin()AA11501，°∴ab262262462()()()。故ab的最大值为462()。辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系。这里A与150°－A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得aAbAsinsin()sin1506230°°因此abAA262150()[sinsin()]°2(62)sin75cos(75)624(62)cos(75)4(843)cos(75)843AAA·°°·°°∴a＋b的最大值为843。例题5在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。错解：由余弦定理，得cabab222215cos°624822228434×××-5-∴c62。又由正弦定理，得sinsinAaCc12而0000018030150AAA，∴＝或。辨析：由题意ba，∴BA。因此A＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。正解：同上cAba6212，，∵sin，000018030BAAA∴，且，∴。例题6在△ABC中，coscosAb，判断△ABC的形状。错解：在△ABC中，∵aAbBcoscos，由正弦定理得22RAARBBsincossincos∴sinsin222222180ABABAB，∴且°∴A＝B且A＋B＝90°故△ABC为等腰直角三角形。辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。正解：在△ABC中，∵aAbBcoscos，由正弦定理，得2222RAARBBABsincossincossinsin，∴。∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。故△ABC为等腰三角形或直角三角形。例题7若a，b，c是三角形的三边长，证明长为abc，，的三条线段能构成锐角三角形。错解：不妨设0abc，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。cos()()()abcababcab22222。由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有abc，即cos0。∴长为abc，，的三条线段能构成锐角三角形。辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。正解：由错解可得cos0又∵abcabcabcabc()()2()20abcabcababcabcabc即长为abc，，的三条线段能构成锐角三角形。典型题1、若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAAA.153B．153C．53D．53解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA0，又25(sincos)1sin23AAA，故选A2、如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则-6-A．111ABC和222ABC都是锐角三角形B．111ABC和222ABC都是钝角三角形C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形解：111ABC的三个内角的余弦值均大于0，则111ABC是锐角三角形，若222ABC是锐角三角形，由211211211sincossin()2sincossin()2sincossin()2AAABBBCCC，得212121222AABBCC，那么，2222ABC，所以222ABC是钝角三角形。故选D。3、ABC的三内角,,ABC所对边的长分别为,,abc设向量