第三章ARMA模型的特性

02468101214161850-6070-8090-1000%5%10%15%20%25%30%35%`第三章ARMA模型的特性在ARMA模型的动态形式下，影响系统的扰动ta被“牢记”一定时期，从而影响系统的后继行为。正是系统的这种动态性，引起了时间数列中的依存关系，从而决定了时间序列中的依存关系不能用普通回归模型描述，只能用ARMA模型。本章将较深入地分析ARMA模型的特性，为进一步识别模型、估计参数、解释模型以及预测提供必要的理论基础。2第一节格林函数和平稳性第二节逆函数和可逆性第三节自协方差函数第四节自谱3第一节格林函数和平稳性一、线性常系数差分方程及其解的一般形式任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程。因此，ARMA模型的性往往取决于差分方程程根的性质。线性定常离散时间系统的主要数学工具是常系数差分方程:)()()1()(01kukyankyankyn(3.1)上式是普通的n阶差分方程，其中为系统参数的函数，10,,naa当其为常数时，就是常系数n阶差分方程，是个离散序列，)(ku叫做驱动函数；)(ky是系统的响应。时，为齐次差分方程。0)(ku4求解n阶齐次差分方程就是在给定输出时间序列n个初始条件)1(,),1(),0(nyyy下，求出输出时间序列)1(),(nyny…来。当然，最好是求出一般解。ARMA模型完全等价于一个差分方程，驱动函数可以看作是)(112211tuaaaantnttt(3.2)那么，如何求解差分方程呢?与微分方程一样，先求相应的齐次方程的通解，然后求一个原方程的特解，原方程的解等于通解与特解的线性组合。5首先设y(k)=k,则(3.2)的特征方程为(3.3)(3.3)左端为特征多项式，多项式的根为特征根。如果能求出特征方程(3.3)的n个特征根就可求得n阶齐次差分方n,,21其中为任意实数，既可能是实数，也可能是复数，如果iCijiji,,则表示差分方程有重根。求特解，要根据驱动函数的具体形式而定，一般令y(k)=i常数即可。0011knknnkaanikiiCky1)(6例3-1bkayky)()1(显然是一个一阶非齐次差分方程。解：求相应的齐次差分方程的通解，设kky)(,则有aakk,01是相应的齐次方程的通解。kaky)(下面求特解，设)(ky常数d，则abdbadd1,故原方程的通解为abCakyk1)(7例3-2,(1,2)iCi0)(9)1(6)2(kYkYkY解：本例是一个二阶齐次方程。为求其通解，同样设Y(k)=k则有显然有重根321kkCCkY3)()(21为任意实数，其中09612kkk8常系数齐次线性差分方程的解会出现如下三种情况：1.如果特征方程有n个相异的实根则齐次方程的通解为2.如果特征方程有d个重实根，其余是相异实根，则齐次方程的通解为，，，，n21tnnttCCCtx2211)(tnntddtddCCtCtCCtx111121)()(1二、解的一般形式93.如果特征方程的根中有共轭复根，齐次方程的解中必含有正弦项和余弦项。比如有一对共轭复根和，其余是相异实根，记这时齐次方程的通解为说明：常系数非齐次线性差分方程的特解的求法与微分方程类似。12iirebiarebia21，tnnttCCtCtCrtx3321)sin()cos()(10例3-3求下列线性差分方程的通解和特解。（1）（2）0)2(4)1(5)(txtxtx12)(2)1()2(txtxtx1)1(,0)0(12)(2)1()2(xxtxtxtx，解：（1）特征方程：特征根：齐次方程的通解：，0452，，1421ttCCtx)1()4()(2111（2）12)(2)1()2(txtxtx1)1(,0)0(12)(2)1()2(xxtxtxtx，特征方程：特征根：齐次方程的通解：设原方程的一个特解为x(t)=at，其中a待定．代入原方程得则有a=4，一个特解是x(t)=4t，则原方程通解为将初始条件代入，得故原方程的特解为，022，，2121tCCtx)2()(211232)1()2(aattata,1121CC，tCCttx)2(4)(21tttx)2(14)(12Ex:求下列差分方程：（1）（2）tCttx242)()2sin()2cos()(4321tCtCtCCtxttxtx2)1(2)(0)4()3(2)2(2)1(2)(txtxtxtxtx13二、AR(1)系统的格林函数格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。AR(1)模型为tttaXX11（3.4）由于在动态条件下，1211tttaXXtttttttaaXaaXX112211211)(2312tttaXXtttttaaaXX11221331…………14依次推下去，并代入(3.4)式，可得到：01jjtjtaX(3.5)将(3.5)代入(3.4)式，得tjjjtjjtjaaa011111)(方程的解(3.5)式是驱动函数ta的一个线性组合，方程解的系数函数j1客观地描述了该系统的动态性，故这个系数函数就叫做记忆函数，也叫格林函数(Green'sfunction)152.AR(1)模型的后移算子表达式及格林函数为更方便的描述线性差分方程，需要引入后移算子B的概念。后移算子B，就是“Back”算子，B的次数表示后移期数。如:,,221ttttXXBXBX这样，AR(1)可写成ttaXB)1(1它的解为BaXtt11taBBB)1(331221101jjtja0jjtjaG163.格林函数的意义(1)是前j个时间单位以前进入系统的扰动对系统现在行jGjta为(响应)影响的权数。(2)客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。jG(3)是系统动态的真实描述。系统的动态性就是蕴含在时间jG序列中的数据依存关系。(4)格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数.17三、根据格林函数形成系统响应(时间序列)1．根据tttjjjXGa生成序列，实例见下表3.15.0118各个扰动对系统后继行为的作用描述在图3.1(b)~(g)中。61~aa192.根据0jjtjtaGX生成序列tX203.1系统参数对系统响应的影响(1)取负值时，响应波动较大。(2)取正值时，响应变得平坦。(3)越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时间越长。和5.019.01成了两个序列，分别描绘在图3.2和图3.3中，通过比较图3.1、图3.2可以知道:1对此我们用实例加以说明，对前面的序列分将别利用11212223四、AR(1)系统的平稳性1.系统稳定性与非稳定性渐近稳定性是指系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量都随时间的增长而趋于平衡状态。渐近稳定系统一定是平稳的。而系统的不稳定性则是指，如果系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量将随时间而趋向无穷。不稳定系统一定是非平稳的。如果系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量随时间的增长既不回到均衡位置，又不趋于无穷，这就是系统的临界稳定性。242.AR(1)系统的平稳性条件对于AR(1)系统来说，如果系统受扰后，该扰动的作用渐渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回到均衡位置，那么，该系统就是渐近稳定的，也就是平稳的。相对于格林函数来说，就是随着j→∞，扰动的权数,由于0jGjkG1故必有,0,1jj显然，11这就是AR(1)系统的渐近稳定条件，也就是平稳性条件。25五、格林函数与Wold分解所谓Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过程分解成不相关的随机变量的和.正交和不相关是一致的。由于这一思想是由Wold引入(1938年)到时序分析中的，故叫做Wold分解。他认为可以用线性空间来解释ARMA模型的解。如果用线性空间的观点来看AR(1)模型的解0jjtjtaGX由于jta是相互独立的，可看作线性空间的基(或无限维坐标轴)，ja显然可由线性表示，其系数就是对于的坐标，tXjtajGtXjta因而上式也叫做Wold分解式，其系数叫Wold系数。26六、ARMA(2,1)系统的格林函数1．ARMA(2,1)系统的格林函数的隐式我们可以利用比较系数法来求得ARMA(2,1)模型的格林函数。具体推导如下：ARMA(2,1)模型是一个二阶非齐次差方程:112211tttttaaXXX(3.6)设该二阶非齐次差分方程的解为0jjtjtaGX,为方便用B算子式ttaBXBB)1()1(1221(3.7)011220()jttttjtjXGaGaGaGBa(3.8)27ttjjjaBaBGBB)1())(1(10221(3.9)由B的同次幂的系数必相等，于是有：1111011:1100GGG：G2211202111211122:0()GGGG31221312213:0GGGGGG41322413224:0GGGGGG1122,3jjjjGGGj28将上式变形得02211jjjGGG利用B算子式得2,0)1(221jGBBj这样,在已知系统参数的情况下，我们便可递推地计算出所有的jGj。当j充分大时，格林函数jG满足(3.6)式自回归部分相应的差分方程。292.ARMA(n,n-1)系统的格林函数的隐式与ARMA(2,1)系统相类似，将tjjjtaBGX)(0代入ARMA模型，展开并整理对比B的同次幂系数得B的幂指数,得:1:00G1110111011:1GGGG221112202112)(:2GGGG0:0332211GGGGGnnnnnn这样，便可递推地计算出格林函数jG303.ARMA(2,1)系统的格林函数的显式ARMA(2,1)系统的特征多项式是个二次多项式,设两个特征根分别为12,,则通解为jjjggG2211,其中是任意12,gg常数,其值由初始条件唯一地确定。这里的初始条件为：11111101GGG于是有01211122111GggGgg而1211211G,所以,即：1112211211gggg3111112,g解得则ARMA(2,1)系统的格林函数为：21221,gjjjG212121211132例3-44.04.03.1121，，,用显式求格林函数。解：求特征根，即求04.03.12的根)6.169.13.1(21,211(1.30.3)2即5.0,8.021于是，格林函数为jjjG5.08.05.04.05.08.05.08.04.08.0)5.08.04(31jj334．AR(2)和ARMA(1,1)系统的格林函数AR(