比例线段和平行线分线段成比例定理

第十讲比例线段和平行线分线段成比例定理主讲宗老师一、比例线段的主要知识点1两条线段的比：(1)定义：同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n，那么就写成(2)前项、后项：a叫比的前项，b叫比的后项.前后项交换，比值要交换.(3)比例尺：若实际距离是250m，图上距离是5cm，求比例尺.比例尺为1：5000.ama:bm:n.bn==或51.250005000=如则a3b2.b2a3==，一、比例线段的主要知识点2四条线段成比例：(1)定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段.如a=9cm,b=6cm,c=6cm,d=4cm.则a,b,c,d叫作成比例线段.(2)名称：在比例线段a:b=c:d中，a、d叫作比例的外项，b、c叫比例的内项,d叫第四比例项.若比例内项相同，即a:b=b:d，则b叫a、d的比例中项.a3c3ac,,.b2d2bd==\=Q一、比例线段的主要知识点3比例的性质：(1)比例的基本性质：a:b=c:dad=bc.a:b=b:cb2=ac.(2)合比性质：(3)等比性质：(4)黄金分割：51ACAB0.618AB.2-=谆?2ABAC.ACABBC.ACBC==?即如则类似地还有aca+bc+dabcd..bdbdbd--===，如则acma+c++mabdn0.bdnb+d++nb=?LLLL==(+++),ABCacab1)2,bdcddcbd3),4).baac====，)例1.在1:500000的地图上，若A、B两市的距离是64cm，则两个城市间的实际距离是多少千米？解：设A、B两市距离为xcm，则∴x=64×500000=32000000(cm)=320(km).答：两城市实际距离为320千米.二、比例线段的例题和练习：641.x500000=二、比例线段的例题和练习：例2.已知线段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm.(1)线段a、b、c、d是否是成比例的线段？解：∴a、b、c、d不是成比例的线段.(2)经过重新排列后，以上四条线段能否是成比例的线段？解：∵12×10=120,15×8=120,∴ab=cd.∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的线段.68ac..515bd筡?Qa126c8,.b105d15===Qadac.cbdb\==或二、比例线段的例题和练习：例3.(1)已知：a:b:c=3:4:5,求(2)已知：(3)已知：a=2,b=54,x是a、y的比例中项，y是x、b的比例中项.求：x、y的值.解:(1)设a=3k,b=4k,c=5k.则(2)若a+b+c≠0,若a+b+c=0,则a+b=－c.c5k5k5.abc3k4k5k12k12===++++c.a+b+c的值abacbca+b+a+c+b+ck,k2.cbaa+b+c+++===\==Qa+ba+cb+ckk.cba===,求的值abck1.cc+-\===-二、比例线段的例题和练习：例3.(1)已知：a:b:c=3:4:5,求(2)已知：(3)已知：a=2,b=54,x是a、y的比例中项，y是x、b的比例中项.求：x、y的值.解:(3)由题意知∴x=6,y=18为所求.2222xay,x2y(1),ybx.y54x(2).祆镲==镲\眄==镲镲铑c.a+b+c的值243xx(1)y(2),=54x,x216,x=6.24==由代入a+ba+cb+ckk.cba===,求的值2xx6y18.2===代入得，{x6y18\=,=.三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.l1∥l2∥l3.ABDEBCEFABDEACDFBCEFACDF===l1l2l3ABCDEFmn===上上下下上上全全下下全全ABBCDEEF==左左右右三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：1平行线分线段成比例定理：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.2三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.3预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.ADDEAEDE//BC,.ABBCAC==若则l3l2l1nmEDCBAl3l2l1nmEDCBAEADCBA123ADAE////,,BDECQLL\=lll四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：例1.如图，若EF∥AB,DE∥AC,以下比例正确的有（）个.A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.ADBFAEDE(1)=(2)=BDCFECFCBCABBCAC(3)=(4)=DEADDEECEDCBAFC四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：例2.已知：如图，若DE∥BC,D在AB上，E在AC上，AD:DB=2:3,BC=20.求：DE的长.解：AD2AD2..DB3AB5=\=QADDE2DE//BC..ABBC5\==QDE2.DE=8.205=\即EDCBA四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：例3.已知：如图梯形ABCD中，AD∥BC,AC、BD相交于O.过O作AD的平行线交AB于M，交CD于N.求证：MO=ON.证明：∵AD∥BC,MN∥AD.∴MN∥BC.在△ABC中，∵MO∥BC.在△DBC中，∵ON∥BC.即MO=ON.MOAO.BCAC\=NODO.BCDB\=AODOMONO..ACDBBCBC=\=Q又ABCDNMO四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：例4.已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，DE、BC的延长线相交于F.AD=CF.求证：方法一.证明：作DM∥AC交BC于M.在△ABC中，DM∥AC.在△DMF中，∵AD=CF，DEMC.EFCF=DEMC.EFAD\=BCDE=.ABEFBCMC.ABAD=BCDE.ABEF\=ABCDEFM四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：例4.已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，DE、BC的延长线相交于F.AD=CF.求证：方法二.证明：作DN∥BC交AC于N.则∵AD=CF.在△ABC中，DN∥BC.DEDN.EFCF=DEDN.EFAD\=BCDE=.ABEFBCDN.ABAD=BCDE.ABEF\=ABCDEFN五、练习题：1.下面四组线段中，不能成比例的是（）.2.已知：求(1)(2)若2x+3y-z=40,求3x-z+2y=?解(1)：设∴x=2k,y=7k,z=5k.(2)∵2x+3y-z=40,∴4k+21k-5k=40.k=2.∴3x-z+2y=6k-5k+14k=15k=30.xyzk,275===A.a=3,b=6,c=2,d=4.B.a=1,b=2,c=6,d=3.C.a=2,b=5,c=15,d=23.D.a=4,b=6,c=5,d=10.2xy+3z4k7k+15k12k12.y7k7k7--\===Dxyz.275==2xy3z.y-+五、练习题：3.若线段AB=10，点C是线段AB的黄金分割点，ACBC,那么AC=_________,BC=__________.提示：∵BC2=AC·AB.51BC10=555.2-=?AC10BC10(555)=1555.=-=---1555-555-五、练习题：4.梯形ABCD中，AB∥CD,E、F分别在AD、BC上，求：EF.提示：作DM∥BC交AB于M，交EF于N.∴EF∥AB.∵AB=20,∴CD=MB=NF=10.∴AM=10.∴EN=4,EF=4+10=14.DECF.EAFB=QDE2DE2ENDE2...EA3DA5AMDA5=\===QDECF2.AB=20,CD=10.EAFB3==且ABCDEFNM五、练习题：5.已知，如图，在△OCE中，BD∥CE,AD∥BE.求证：OB是OA和OC的比例中项.提示:在△OCE中，∵BD∥CE.在△OBE中，∵AD∥BE.即OB2=OA·OC.∴OB是OA和OC的比例中项.OBOA.OCOB\=OBOD.OCOE\=OAOD.OBOE\=ABCDEOThankyou！